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Kraft auf 2D-Profil bei konstantem Druck

Hier berechne ich die Kraft für ein 2D-Profil. Das 2D-Profil lege ich so in ein Koordinatensystem, dass ich die Oberseite und die Unterseite des Profils als Funktion beschreiben kann, wobei der x-Wert von bis gehen soll. Zur Vereinfachung nehme ich mal nur Funktionen, deren y-Wert bei und Null ist. So kann ich das Profil einfach mit zwei Funktionen beschreiben, welche sich an den Stellen und treffen.

Zuerst muss ich ein beliebiges Flächenelement aus der Funktion berechnen und seine Normale bestimmen. Ich schneide das 2D-Profil dazu in lauter identische Scheiben (in Z-Richtung) der Breite . Dann berechnet sich das Flächenelement wiefolgt:

(1)

Das Längenelement auf der Kurve berechnet sich nach Pythagoras aus und :

(2)

Den Normalenvektor berechne ich komponentenweise (erst mal nur für die obere Fläche des Profils):

(3)

Jetzt haben wir alle Formeln zusammen, um das Integral berechnen zu können. Ich berechne die Kraft für die X- und Y-Richtung separat. Beachte, dass der Druck = konstant angenommen wird und daher vor das Integral gesetzt werden kann:

(4)

kann ich mit der Ableitung der Funktion schreiben als: und kürzt sich heraus. Es bleibt:

(5)

Für die Kraft in Y-Richtung erhalten wir:

(6)

Die Integrale können nun sehr einfach berechnet werden. Das Integral von ist gerade und das Integral von ist gerade . Diese müssen nun für die beiden Grenzen berechnet werden:

(7)

Ich habe nun vorausgesetzt, dass sei. Daher ergibt die Kraft in X-Richtung Null, für jede x-beliebige Funktion , welche diese Bedingung erfüllt:

(8)

Die Kräfte in die X-Richtung heben sich also schon mal auf für den oberen Teil des Profils. Für den unteren Teil kann genau dieselbe Rechnung gemacht werden, es muss nur durch ersetzt werden.

Für die Kraft in Y-Richtung erhalten wir nach der Integration von (VI):

(9)

Für die untere Hälfte des Profils erhalten wir genau die gleiche Formel, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen, da dort die Summe der Kräfte nach unten zeigt. Die Kräfte in Y-Richtung heben sich also auch auf!

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Erzeugt Donnerstag, 12. März 2009
von wabis
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Geändert Samstag, 18. Juli 2015
von wabis