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Metrik

Eine Metrik ist eine mathematische Funktion, die je zwei Elementen eines Raums einen nicht negativen reellen Wert zuordnet, der als Abstand der beiden Elemente voneinander aufgefasst werden kann.

Der Metrik-Tensor stellt eine Beziehung zum Abstand benachbarter Punkte her. Damit sind hier infinitesimal kleine Abstände zwischen Punkten gemeint, sog. differenzielle Abstände $\mathrm d s$ :

(1)

$\mathrm d s^2 = g_{mn}(\mathbf x)\ \mathrm d x^m\ \mathrm d x^n$

wobei^'

$\mathrm d s$ ^'	=^'	^'infinitesimaler Abstand zweier benachbarter Punkte
$\mathrm d x^m, \mathrm d x^n$ ^'	=^'	^'kontravariante Differentiale
$g_{mn}(\mathbf x)$ ^'	=^'	^'Metrik-Tensor im X-Koordinatensystem

Die Komponenten des Metrik-Tensors sind im Allgemeinen Funktionen des Ortes $\mathbf x$ .

Beispiel

Die Metrik für ein beliebig gekrümmtes 2D-Koordinatensystem sieht wiefolgt aus, wenn man (1) explizit ausschreibt:

(2)	$\mathrm{d} s^2 = g_{11} \, \mathrm{d} x^1 \, \mathrm{d} x^1 + g_{12} \, \mathrm{d} x^1 \, \mathrm{d} x^2 + g_{21} \, \mathrm{d} x^2 \, \mathrm{d} x^1 + g_{22} \, \mathrm{d} x^2 \, \mathrm{d} x^2$

Da der Metrik-Tensor immer symmetrisch ist, gilt $g_{12} = g_{21}$ . Wir können somit einige Terme zusammenfassen:

(3)	$\mathrm{d} s^2 = g_{11} \, ( \mathrm{d} x^1 ) ^2 + g_{12} \, \mathrm{d} x^1 \, \mathrm{d} x^2 + g_{22} \, ( \mathrm{d} x^2 ) ^2$

Die Komponenten von $g_{mn}$ sind keine Konstanten, sondern hängen generell von der Position ab: $g_{mn} = f_{mn}(\mathbf{x})$ .

Die Funktionen $g_{mn}(\mathbf{x})$ nennt man die Metrik eines Raumes.

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Created	Mittwoch, 18. Mai 2011

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Changed	Sonntag, 27. März 2016

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