Herleitung des Metrik-Tensors

Um die Geometrie eines Raumes als Tensor-Gleichung zu beschreiben, benötigen wir eine invariante Grösse. Die physikalische Länge einer infinitesimal kleinen Strecke $\mathrm{d} s$ ist so eine Grösse, die unabhängig vom Koordinatensystem ist. Diese Länge kann zum Beispiel im kartesischen Koordinatensystem eines 3-dimensionalen flachen Raumes mit dem Satz von Pythagoras wiefolgt ausgedrückt werden:

Damit wir die Einsteinsche Summenkonvention anwenden können, bedienen wir uns eines Tricks. Dazu definieren wir zunächst die Einheitsmatrix $\delta_{mn}$, Kronecker-Delta genannt, welche in der Diagonalen lauter 1 stehen hat und alle anderen Elemente 0 sind:

Mit Hilfe von $\delta_{mn}$ lässt sich Formel (1) in Tensor-Schreibweise wiefolgt schreiben:

Die X-Komponenten $\mathrm{d} x^m$ und $\mathrm{d} x^n$ lassen sich auch bezüglich eines anderen Koordinatensystems Y wiefolgt ausdrücken (siehe Transformation von Ableitungen):

Ersetzen wir $\mathrm{d} x^m$ und $\mathrm{d} x^n$ in (3) durch die rechten Seiten von (4) erhalten wir die Länge $\mathrm{d} s$ bezüglich des Y-Koordinatenssystems:

Beachte: Wenn wir nur die roten Terme betrachten und zu $g_{rs}$ zusammenfassen, wird über die Indizes $m$ und $n$ summiert (Einsteinsche Summenkonvention), nicht jedoch über $r$ und $s$. Es entsteht dabei eine Matrix mit kovarianten Indizes $r$ und $s$, deren Komponenten Funktionen der Position $\vec y$ im Y-Koordinatensystem sind: $g_{rs}(\mathrm{Y})$.

Der so gewonnene Tensor $g_{rs}$ wird als Metrik des Raumes oder Metrik-Tensor bezeichnet.

Zu jedem Koordinatensystem gehört ein Metrik-Tensor

Der Metrik-Tensor gibt nicht nur an, ob und wie ein Raum gekrümmt ist, sondern hängt auch vom verwendeten Koordinatensystem ab. Jedes Koordinatensystem hat seinen eigenen Metrik-Tensor. Der Metrik-Tensor ist zudem meist nicht konstant, sondern eine Funktion der Position.

Vergleichen wir die Metrik-Tensoren für obige Beispiele (X- und Y-Koordinatensystem):

Im Falle des kartesischen Koordinatensystems im nicht gekrümmten Raum (6) wird der Metrik-Tensor zur konstanten Einheitsmatrix: $g_{rs}(\mathrm{X}) = \delta_{rs}$.

Definition: Wenn man in einem beliebigen Raum ein Koordinatensystem finden kann, in welchem der Metrik-Tensor der Einheitsmatrix $\delta_{mn}$ entspricht, so ist dieser Raum nicht gekrümmt (euklidischer Raum).

In einem gekrümmten Raum kann kein solches Koordinatensystem gefunden werden, welches für jede Stelle des Raumes gilt. Lokal kann aber auch ein gekrümmter Raum flach sein. So ist zum Beispiel ein Kegelmantel überall flach, ausser an der Kegelspitze.

Transformation des Metrik-Tensors

Um zu zeigen, dass der Metrik-Tensor wirklich ein Tensor ist (nicht bloss eine Matrix), müssen wir untersuchen, wie er von einem Koordinatensystem in ein anderes transformiert wird.

In Gleichung (5) können wir $\delta_{mn}$ allgemein durch $g_{mn}(\mathrm{X})$ ersetzen, weil $\delta_{mn}$ auch ein Metrik-Tensor ist (nämlich der spezielle Metrik-Tensor des kartesischen Koordinatensystems im euklidischen Raum):

Durch Vergleich können wir nun ablesen, wie ein Metrik-Tensor transformiert wird:

Wir sehen, dass $g_{mn}$ wie ein kovarianter Tensor transformiert wird und haben damit gezeigt, dass der Metrik-Tensor wirklich ein Tensor ist.

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