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Metrik-Tensor einer Kugeloberfläche

Auf dieser Seite wird der Metrik-Tensor einer kugelförmig gekrümmten 2D-Fläche hergeleitet.

Koordinatensystem auf einer 3D Einheitskugel

Zur Vereinfachung der Berechnungen nehmen wir eine Kugel mit Radius , also eine Einheitskugel. Jeder Punkt auf der Kugeloberfläche kann durch die beiden Winkel und im blauen Koordinatensystem beschrieben werden:

(1)

Die Metrik in diesem Koordinatensystem ist definiert durch:

(2)

Es geht nun darum, diese Metrik durch die beiden Winkel und auszudrücken. Ein geübter Blick kann dies direkt aus der Grafik ablesen:

(3)

Ich möchte hier aber zeigen, dass durch Anwenden derselben Methode wie in Metrik-Tensor eines 2D-Polarkoordinatensystems dasselbe Resultat heraus kommt.

Wir berechnen daher zunächst die Differentiale von (1):

(4)
(5)
(6)

Jetzt quadrieren wir die Gleichungen (4) bis (6) und schreiben sie untereinander, damit wir sie dann gleich zur Metrik addieren können:

(7)
(8)

Addieren wir schon mal die Gleichungen (7) und (8), so fallen bereits diverse Terme weg ():

(9)
(10)

Addieren wir nun noch aus (6) erhalten wir die Metrik:

(11)

So erhalten wir schliesslich dasselbe Resultat wie bei (3):

(12)

Metrik der Kugeloberfläche

Der entsprechende Metrik-Tensor der Kugeloberfläche kann direkt abgelesen werden:

(13)
(14)

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Erzeugt Mittwoch, 8. Dezember 2010
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Geändert Sonntag, 27. März 2016
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