Obwohl es in diesem Beispiel nur um zwei Dimensionen geht, gilt das hier Gezeigte analog für beliebig viele Dimensionen.

Im Bild rechts ist das X-Y-Koordinatensystem dargestellt mit einem Punkt darin. Die Position des Punktes kann als Koordinatenpaar $(x, y)$ dargestellt werden, oder in Polarkoordinaten $(r, \theta)$.

Zunächst benötigen wir die Beziehung zwischen $x$ und $y$ und $r$ und $\theta$. Diese Beziehung kann einfach mit etwas Trigonometrie abgeleitet werden:

Die Metrik ist im X-Y-Koordinatensystem definiert als:

Achtung: In diesem Beispiel stehen $x$ und $y$ nicht für verschiedene Koordinatensysteme, sondern für dasselbe Koordinatensystem. Wir könnten wie auf der Seite Metrik-Tensor auch schreiben: $x = x^1$ und $y = x^2$.

Um nun die Metrik (2) in $r$ und $\theta$ zu formulieren, müssen wir nur $\mathrm{d} x$ und $\mathrm{d} y$ als Funktionen von $r$ und $\theta$ ausdrücken. Dazu differenzieren wir (1):

Und wenn wir die partiellen Ableitungen von (1) ausrechnen und in (3) einsetzen erhalten wir $\mathrm{d} x$ und $\mathrm{d} y$ als Funktionen von $r$ und $\theta$:

Damit können wir die Metrik als Funktion von $r$ und $\theta$ berechnen:

Weil $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ ist, bleibt schliesslich nur noch:

Dies ist also die Metrik des 2-dimensionalen flachen Raumes in Polarkoordinaten. Daraus lässt sich der entsprechende Metrik-Tensor $g_{mn}$ ablesen:

Zusammen mit $\mathrm{d} v$ lässt sich diese Metrik in Tensorform schreiben:

Nach der Einsteinschen Summenkonvention muss über gleiche Indizes summiert werden, sodass die Formel (8) ausgeschrieben das Ergebnis (6) ergibt:

Vergleich der Metrik-Tensoren

Wenn wir den Metrik-Tensor links betrachten, fällt auf, dass die Komponente $g_{22}$ nicht konstant ist, sondern sich mit $r^2$ ändert!

Können wir beim Betrachten dieses Metrik-Tensors noch sagen, ob es sich bei dieser Metrik um einen flachen Raum handelt oder nicht? Können wir eine Koordinatentransformation finden, welche diesen Metrik-Tensor so transformiert, dass $\delta_{mn}$ daraus resultiert?

In diesem Fall wissen wir: JA. Wir haben schliesslich diesen Metrik-Tensor im flachen Raum konstruiert. Wir wissen also, dass es eine Transformation gibt, die diesen Metrik-Tensor in den Tensor $\delta_{mn}$ überführt, welcher für den flachen Raum steht.

Generell sieht man einem Metrik-Tensor mit nicht konstanten Komponenten jedoch nicht an, ob die Metrik flach oder gekrümmt ist.

 Siehe auch Vergleich verschiedener 2D-Metrik-Tensoren

Diskussion des Metrik-Tensors

In diesem Beispiel fällt auf, dass beide Metrik-Tensoren nur in den Haupt-Diagonalen Werte ungleich Null haben. Was sagt uns das?

Betrachten wir dazu die Linien, bei welchen entweder $r$ oder $\theta$ konstant sind. Die Linien mit konstantem $r$ sind konzentrische Kreise um den Ursprung. Die Linien mit konstantem $\theta$ sind Geraden durch den Ursprung. Die Tatsache, dass im Metrik-Tensor die Komponenten für die Cross-Terme ($g_{12}$ und $g_{21})$ gleich Null sind ist ein Indikator dafür, dass Linien mit konstanten Koordinaten senkrecht aufeinander stehen. Dies gilt hier auch für die Metrik von $x$ und $y$.

Berechnung des Metrik-Tensors aus der Koordinatentransformation

Oben wurde der Metrik-Tensor direkt aus der Metrik des Polarkoordinatensystems abgeleitet. Da wir die Transformation von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten kennen, können wir diesen Metrik-Tensor auch durch Transformation des kartesischen Metrik-Tensors $\delta_{mn}$ berechnen.

Die Transformation von polaren in kartesische Koordinaten lautete:

Dieselbe Formel als Matrix-Multiplikation:

Für die folgenden Berechnungen sei das kartesische Koordinatensystem das X-System und das Polarkoordinatensystem das Y-System. Damit können wir obige Transformation in Tensor-Schreibweise formulieren:

Der blaue Transformations-Term stellt also die Transformations-Matrix $T$ dar, mit welcher von Polar- in kartesische Koordinaten transformiert werden kann:

Mit Hilfe dieser Transformation können wir den Metrik-Tensor $g_{mn}(\mathrm{Y})$ des Y-Systems (Polarkoordinaten) berechnen. Dazu transformieren wir den kartesischen Metrik-Tensor, der ja einfach dem Kronecker-Delta $\delta_{rs}$ entspricht:

Beachte: Mit der Transformation $T$ kann ein kontravarianter Tensor vom Y-System ins X-System oder ein kovarianter Tensor vom X-System ins Y-System transformiert werden!

Es folgt die ausführliche Berechnung von (16). Dabei fallen die Hälfte der Terme weg, weil $\delta_{12} = \delta_{21} = 0$ ist:

Zusammengefasst erhalten wir denselben Metrik-Tensor wie unter (7):