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Metrik-Tensor eines 2D-Polarkoordinatensystems

Das Polarkoordinatensystem ist ein Beispiel eines gekrümmten Koordinatensystems in einem flachen (euklidischen) Raum. Hier wird der Metrik-Tensor eines solchen Koordinatensystems im zweidimensionalen flachen Raum hergeleitet.

Obwohl es in diesem Beispiel nur um zwei Dimensionen geht, gilt das hier Gezeigte analog für beliebig viele Dimensionen.

Skizze: r, Theta in X-Y-Koordinatensystem

Im Bild rechts ist das X-Y-Koordinatensystem dargestellt mit einem Punkt darin. Die Position des Punktes kann als Koordinatenpaar dargestellt werden, oder in Polarkoordinaten .

Zunächst benötigen wir die Beziehung zwischen und und und . Diese Beziehung kann einfach mit etwas Trigonometrie abgeleitet werden:

(1)

Die Metrik ist im X-Y-Koordinatensystem definiert als:

(2)

Achtung: In diesem Beispiel stehen und nicht für verschiedene Koordinatensysteme, sondern für dasselbe Koordinatensystem. Wir könnten wie auf der Seite Metrik-Tensor auch schreiben: und .

Um nun die Metrik (2) in und zu formulieren, müssen wir nur und als Funktionen von und ausdrücken. Dazu differenzieren wir (1):

(3)

Und wenn wir die partiellen Ableitungen von (1) ausrechnen und in (3) einsetzen erhalten wir und als Funktionen von und :

(4)

Damit können wir die Metrik als Funktion von und berechnen:

(5)

Weil ist, bleibt schliesslich nur noch:

(6)

Metrik in Polarkoordinaten

Dies ist also die Metrik des 2-dimensionalen flachen Raumes in Polarkoordinaten. Daraus lässt sich der entsprechende Metrik-Tensor ablesen:

(7)

Zusammen mit lässt sich diese Metrik in Tensorform schreiben:

(8)

Nach der Einsteinschen Summenkonvention muss über gleiche Indizes summiert werden, sodass die Formel (8) ausgeschrieben das Ergebnis (6) ergibt:

(9)
(10)

Vergleich der Metrik-Tensoren

Polar-Koordinaten

Kartesische Koordinaten

(11)

Wenn wir den Metrik-Tensor links betrachten, fällt auf, dass die Komponente nicht konstant ist, sondern sich mit ändert!

Können wir beim Betrachten dieses Metrik-Tensors noch sagen, ob es sich bei dieser Metrik um einen flachen Raum handelt oder nicht? Können wir eine Koordinatentransformation finden, welche diesen Metrik-Tensor so transformiert, dass daraus resultiert?

In diesem Fall wissen wir: JA. Wir haben schliesslich diesen Metrik-Tensor im flachen Raum konstruiert. Wir wissen also, dass es eine Transformation gibt, die diesen Metrik-Tensor in den Tensor überführt, welcher für den flachen Raum steht.

Generell sieht man einem Metrik-Tensor mit nicht konstanten Komponenten jedoch nicht an, ob die Metrik flach oder gekrümmt ist.

 Siehe auch Vergleich verschiedener 2D-Metrik-Tensoren

Diskussion des Metrik-Tensors

In diesem Beispiel fällt auf, dass beide Metrik-Tensoren nur in den Haupt-Diagonalen Werte ungleich Null haben. Was sagt uns das?

Betrachten wir dazu die Linien, bei welchen entweder oder konstant sind. Die Linien mit konstantem sind konzentrische Kreise um den Ursprung. Die Linien mit konstantem sind Geraden durch den Ursprung. Die Tatsache, dass im Metrik-Tensor die Komponenten für die Cross-Terme ( und gleich Null sind ist ein Indikator dafür, dass Linien mit konstanten Koordinaten senkrecht aufeinander stehen. Dies gilt hier auch für die Metrik von und .

Berechnung des Metrik-Tensors aus der Koordinatentransformation

Oben wurde der Metrik-Tensor direkt aus der Metrik des Polarkoordinatensystems abgeleitet. Da wir die Transformation von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten kennen, können wir diesen Metrik-Tensor auch durch Transformation des kartesischen Metrik-Tensors berechnen.

Die Transformation von polaren in kartesische Koordinaten lautete:

(12)

Dieselbe Formel als Matrix-Multiplikation:

(13)

Für die folgenden Berechnungen sei das kartesische Koordinatensystem das X-System und das Polarkoordinatensystem das Y-System. Damit können wir obige Transformation in Tensor-Schreibweise formulieren:

(14)
wobei'
' =' '; kartesische Koordinaten
' =' '; polare Koordinaten

Der blaue Transformations-Term stellt also die Transformations-Matrix dar, mit welcher von Polar- in kartesische Koordinaten transformiert werden kann:

(15)

Mit Hilfe dieser Transformation können wir den Metrik-Tensor des Y-Systems (Polarkoordinaten) berechnen. Dazu transformieren wir den kartesischen Metrik-Tensor, der ja einfach dem Kronecker-Delta entspricht:

(16)

Beachte: Mit der Transformation kann ein kontravarianter Tensor vom Y-System ins X-System oder ein kovarianter Tensor vom X-System ins Y-System transformiert werden!

Es folgt die ausführliche Berechnung von (16). Dabei fallen die Hälfte der Terme weg, weil ist:

(17)
(18)
(19)
(20)

Zusammengefasst erhalten wir denselben Metrik-Tensor wie unter (7):

(21)
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Erzeugt Montag, 15. November 2010
von wabis
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Geändert Mittwoch, 20. März 2019
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