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Nabla-Operator

Um Newtons Theorie der Gravitation zu verstehen, muss ein bestimmter Formalismus verstanden werden:

Vektoren sind Objekte, die aus mehreren Komponenten zusammen gesetzt sind:

(1)

Im Beispiel (1) besteht der Vektor aus drei Komponenten, seinen x, y, und z Koordinaten .

Es gibt aber noch andere vektorähnliche Objekte, deren Komponenten jedoch nicht Zahlen sind, sondern Operationen bzw. Funktionen. Der Nabla-Operator (englisch als Del ausgesprochen) ist so ein Objekt:

(2)

Immer wenn der Nabla-Operator in einer Formel vorkommt bedeutet das, dass etwas differenziert (abgeleitet) werden muss. Genauer, eine Reihe von partiellen Differentialen.

Wie wird der Differential-Operator angewandt?

Gradient: Nabla-Operator mit Skalarfeld

Anwenden des Nabla-Operators auf ein Skalarfeld :

(3)

Der Nabla-Operator macht aus einem Skalar einen Vektor oder aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld. Der Vektor wird als Gradient bezeichnet. Er gibt an, wie stark sich ein Skalarfeld an einer Stelle ändert und zeigt in die Richtung der grössten Änderung.

Divergenz: Nabla-Operator Skalarprodukt mit Vektor-Feld

Anwenden des Nabla-Operators auf ein Vektorfeld mit der Skalarprodukt Schreibweise. Das Skalarprodukt (Zeichen ) zweier Vektoren ist folgendermassen definiert:

(4)

Das Skalarprodukt ist also eine Zahl, eben ein Skalar. Analog sieht das beim Skalarprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektor aus:

(5)

Der Nabla-Operator macht über das Skalarprodukt aus dem Vektor einen Skalar. Dieser Skalar wird Divergenz des Vektors genannt. Eine ebenfalls gebräuchliche Schreibweise ist . Beim Nabla-Operator wird der Pfeil oft weggelassen: .

Wenn der Vektor von der Position abhängig ist: , dann stellt er ein Vektor-Feld dar. Die zugehörige Divergenz ist entsprechend ein Skalar-Feld. Immer wenn ein Objekt von der Position abhängig ist, stellt es ein Feld dar.

(6)

Es wird also die Vektor-Komponente , welche von den Argumenten abhängig ist () nach abgeleitet, die Komponente nach und die Komponente nach und die drei Werte werden addiert. Dies ergibt einen neuen einzelnen Wert für jede Stelle im Raum, also ein Skalarfeld.

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Erzeugt Donnerstag, 10. September 2009
von wabis
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Geändert Sonntag, 29. Juni 2014
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