Partielle Ableitung ist ein Begriff aus der Differentialrechnung. Wenn man eine Funktion hat, die von mehreren Argumenten abhängig ist, bildet man die partielle Ableitung nach einem dieser Argumente, indem man nach diesem Argument ableitet, während man die anderen Argumente als konstant betrachtet.

Die Schreibweise der partiellen Ableitung einer Funktion $f(x,y,...)$ nach dem Argument $x$ ist:

Beispiel

Angenommen wir haben eine Funktion, die von zwei Variablen abhängig ist:

Die Funktion kann partiell nach $x$ oder nach $y$ abgeleitet werden. Die partielle Ableitung nach $x$ erhält man, indem man $y$ als Konstante betrachtet (wie $a, b, c$) und nach $x$ ableitet wie gewohnt:

Die partielle Ableitung nach $y$ erhält man analog, indem man $x$ als Konstante betrachtet und nach $y$ ableitet:

Verwendung

Partielle Ableitungen ermöglichen die Berechnung einer Lösung für Probleme, die von mehreren Parametern abhängen.

Das Bestimmen der optimalen Lösung ist ein Extremwertproblem. Einfache Extremwertprobleme findet man in der Analysis bei der Berechnung von Maxima und Minima einer Funktion einer reellen Variablen. Die Verallgemeinerung des Differentialquotienten auf Funktionen mehrerer Variablen (Veränderlichen, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt.

In der Differentialgeometrie benötigt man partielle Ableitungen zur Bestimmung eines totalen Differentials. Anwendungen für totale Differentiale findet man in grossem Masse in der Thermodynamik.

Partielle Ableitungen sind darüber hinaus ein wesentlicher Bestandteil der Vektoranalysis. Sie bilden die Komponenten des Gradienten, des Laplace-Operators, der Divergenz und der Rotation in Skalar- und Vektorfeldern. Sie treten auch in der Jacobi-Matrix auf.

Anwendungsbeispiele

Weitere Informationen