Voraussetzungen und Konventionen

Die Spezielle Relativitätstheorie von Einstein führt die Idee der Raumzeit ein. Um die folgende Beschreibung zu verstehen, wird ein grundlegendes Verständnis von Lorenz-Transformationen vorausgesetzt.

In der Physik wird oft in Einheiten gerechnet, in denen die Lichtgeschwindigkeit c = 1 gesetzt wird. Die Konstante c dient als Umrechnungsfaktor zwischen Raum und Zeit:

Man kann die Einheiten von Raumzeit-Koordinatensystemen immer so wählen, dass c = 1 ist, wodurch Diagramme und Formeln einfacher werden. Dies nicht so zu machen wäre gleich unpraktisch, wie für jede Raumkoordinate eine andere Einheit (Meter, Fuss, Inches) zu verwenden, wodurch in allen Formeln entsprechende Umrechnungsfaktoren eingeführt werden müssten, analog zu c ≠ 1!

Übergang von Raum zu Raumzeit

Wir beschränken uns zunächst auf rechtwinklige kartesische Koordinatensysteme im flachen Raum. Diese Koordinatensysteme können gegeneinander verschoben oder rotiert sein. Sie haben alle die Eigenschaft, dass bei der Transformation von einem Koordinatensystem in ein anderes das Längenelement ds² denselben Wert beibehält (Invarianz):

Der Metrik-Tensor $g_{mn}$ in solchen kartesischen Koordinatensystemen ist immer gleich dem Kronecker-Delta $\delta_{mn}$. Damit kann diese Metrik auch folgendermassen geschrieben werden:

Für mehrdimensionale Räume werden einfach entsprechend mehr Therme für jede zusätzliche Dimension angehängt.

Beim Übergang von Raum zu Raumzeit wird neben den drei Raumkoordinaten eine vierte Zeit-Koordinate eingeführt. Raumzeit hat also 4 Koordinaten - sie bilden zusammen einen 4-dimensionalen Raum. Ein Raumzeit-Vektor hat also 4 Komponenten: eine davon entspricht der Zeit, die anderen 3 sind Raumkoordinaten.

In der Speziellen Relativitätstheorie gibt es eine zu ds analoge invariante Grösse: die Eigenzeit dτ:

Im Gegensatz zu (2) bleibt bei der Lorenz-Transformation der Speziellen Relativitätstheorie nicht die Summe der Quadrate invariant, sondern die Quadrate der Raum-Koordinaten müssen vom Quadrat der Zeit-Koordinate subtrahiert werden! Diese Invariante dτ nennt man Eigenzeit (engl: proper time).

Wenn man mit Einheiten rechnen will, in denen die Lichtgeschwindigkeit c ≠ 1 ist, so sieht (4) wiefolgt aus:

Raumzeit-Transformationen (Lorenz-Transformationen) sind gekennzeichnet dadurch, dass sie die obige Metrik bewahren! Diese Metrik stellt die Eigenzeit dτ dar, im Gegensatz zum räumlichen Abstand ds bei reinen räumlichen Transformationen. Lorenz-Transformationen sind also jene Transformationen von einem Koordinatensystem zu einem anderen, in welchen dτ² in allen Koordinatensystemen denselben Wert hat!

Notation von Raumzeit-Tensoren

Indizes von rein räumlichen Tensoren werden mit lateinischen Buchstaben geschrieben. Für Indizes von Raumzeit-Tensoren werden grichische Buchstaben verwendet:

Die erste Komponente bei Raumzeit-Vektoren ist immer die Zeit-Komponente: x⁰ = t. Weitere räumliche Komponenten werden bei Bedarf einfach hinten angefügt (z.B: in der String-Theorie).

Mit dieser Notation kann die Tensor-Schreibweise der Metrik praktisch beibehalten werden:

Der Term (x) von $g_{mn}(\mathbf{x})$ bzw. $g_{\mu\nu}(\mathbf{x})$ weist darauf hin, dass die Komponenten des Metrik-Tensors bei gekrümmten Koordinatensystemen oder gekrümmten Räumen Funktionen der Position bzw. der Raumzeit-Position sind.

Wie sieht ein solcher Metrik-Tensor aus? Vergleichen wir der Einfachheit halber den Metrik-Tensor in ungekrümmten Koordinaten/Räumen. In (3) haben wir gesehen, dass in diesem Fall der Metrik-Tensor gleich dem Kronecker-Delta entspricht. In Minkowski-Koordinaten existiert ein analoger Metrik-Tensor:

Das dem Kronecker-Delta entsprechende $\eta_{\mu\nu}$ wird Eta-mü-nü ausgesprochen.

Übergang zu gekrümmter Raumzeit

Was passiert mit (4), wenn wir gekrümmte Koordinaten oder gekrümmte Raumzeit einführen? Betrachten wir zuerst den einfachsten ungekrümmten Fall. Wenn wir Eta in (7) einsetzen und ausmultiplizieren erhalten wir die Formel (4):

In gekrümmten Koordinaten/Raumzeit ist der Metrik-Tensor $g_{\mu\nu}(\mathbf{x})$ komplizierter und in der Regel sind die Komponenten keine Konstanten, sondern Funktionen der Raumzeit-Position. Entsprechend komplizierter sieht (7) in so einem Falle ausmultipliziert aus. Das Prinzip bleibt aber dasselbe.

Eigenwerte des Metrik-Tensors

Die wesentlichen Eigenschaften des Metrik-Tensors (Symmetrie usw.) gelten auch in der Relativitätstheorie. In 3D-Raum-Systemen hat der Metrik-Tensor jedoch immer 3 positive Eigenwerte, während in der 4D-Raumzeit der Metrik-Tensor immer einen positiven und 3 negative Eigenwerte hat!

Zusammenfassung

Praktisch alles was bisher über Tensoren und deren Transformations-Eigenschaften gesagt wurde, gilt auch für Raumzeit-Tensoren. Die Unterschiede sind die zusätzlichen Zeit-Komponenten und die Verwendung griechischer statt lateinischer Indizes.

So ist die Transformation eines kontravarianten Raumzeit-Vektors z.B. folgendermassen definiert (vergleiche mit Transformation kontravarianter Tensoren):