Beispiel mit einem einfachen dreidimensionalen Tensor vom Rang 2:

Diesen Tensor $T^m_m$ kann man als Matrix betrachten und die Tensor-Kontraktion entspricht dem Berechnen der Spur der Matrix. Aus diesem Grund wird die Abbildung auch Spurbildung genannt.

Das Resultat dieser Operation ist hier ein Skalar $S$.

Kontraktion von Tensoren mit mehreren Indizes

Für kompliziertere Tensoren mit vielen Indizes funktioniert die Tensor-Kontraktion entsprechend:

Die zusammengeführten Indizes (hier $m$) verschwinden beim Summieren. Das Resultat ist in jedem Falle wieder ein Tensor.

Ein Anwendungsbeispiel in der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Kontraktion des riemannschen Krümmungstensors zum Ricci-Tensor:

Skalarprodukt als Tensor-Kontraktion

Ein einfacher Tensor von Rang 2 kann aus zwei Vektoren gebildet werden:

Wenn wir hier die Indizes zusammenführen erhalten wir das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

Index-Kontraktion mit dem Metrik-Tensor

Der Metrik-Tensor hat eine geometrische Bedeutung: Er stellt eine Beziehung zum Abstand benachbarter Punkte her. Damit sind hier infinitesimal kleine Abstände zwischen Punkten gemeint, sog. differenzielle Abstände $\mathrm{d} s$:

Dies ist ein Spezialfall der Regel der Index-Kontraktion. Die Indizes $m$ und $n$ werden zusammengezogen. Es bleiben keine Indizes übrig! Das Resultat ist also ein Skalar.