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Tensor-Kontraktion

Tensor-Kontraktion oder Tensorverjüngung bedeutet, einem kontravarianten und einem kovarianten Index eines Tensors denselben Namen zu geben und über diesen Index zu summieren (Einsteinsche Summenkonvention). Dieses Zusammenführen von Indizes ist eine Operation auf Tensoren, die wiederum einen Tensor aber mit niedrigerem Rang erzeugt.

Beispiel mit einem einfachen dreidimensionalen Tensor vom Rang 2:

(1)

Diesen Tensor kann man als Matrix betrachten und die Tensor-Kontraktion entspricht dem Berechnen der Spur der Matrix. Aus diesem Grund wird die Abbildung auch Spurbildung genannt.

Das Resultat dieser Operation ist hier ein Skalar .

Kontraktion von Tensoren mit mehreren Indizes

Für kompliziertere Tensoren mit vielen Indizes funktioniert die Tensor-Kontraktion entsprechend:

(2)

Die zusammengeführten Indizes (hier ) verschwinden beim Summieren. Das Resultat ist in jedem Falle wieder ein Tensor.

Ein Anwendungsbeispiel in der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Kontraktion des riemannschen Krümmungstensors zum Ricci-Tensor:

(3)
wobei'
' =' 'Riemannscher Krümmungstensor
' =' 'Ricci-Tensor

Skalarprodukt als Tensor-Kontraktion

Ein einfacher Tensor von Rang 2 kann aus zwei Vektoren gebildet werden:

(4)

Wenn wir hier die Indizes zusammenführen erhalten wir das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

(5)

Index-Kontraktion mit dem Metrik-Tensor

ds^2 = dx1^2 + dx2^2

Der Metrik-Tensor hat eine geometrische Bedeutung: Er stellt eine Beziehung zum Abstand benachbarter Punkte her. Damit sind hier infinitesimal kleine Abstände zwischen Punkten gemeint, sog. differenzielle Abstände :

(6)
wobei'
' =' 'infinitesimaler Abstand zweier benachbarter Punkte
' =' 'kontravariante Differentiale
' =' 'Metrik-Tensor im X-Koordinatensystem

Dies ist ein Spezialfall der Regel der Index-Kontraktion. Die Indizes und werden zusammengezogen. Es bleiben keine Indizes übrig! Das Resultat ist also ein Skalar.

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Erzeugt Montag, 10. Januar 2011
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Geändert Sonntag, 27. März 2016
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