Die Wirkung eines Systems hängt von der Trajektorie $\Gamma$ ab: $W = f(\Gamma)$. Durch Variation der Trajektorie und bestimmen der Trajektorie mit der kleinsten Wirkung stossen wir auf die Euler-Lagrange-Gleichung.

Die Trajektorie ist definiert als ein Set von Funktionen $q_i(t)$ und $\dot q_i(t)$. Die Funktionen $q_i(t)$ stellen zum Beispiel die Koordinaten von Teilchen in Abhängigkeit der Zeit dar und die Funktionen $\dot q_i(t)$ die zugehörigen Geschwindigkeiten. Für jede erdenkliche Kombination von Funktionen $q_i(t)$ und $\dot q_i(t)$ kann man die zugehörige Wirkung $W$ berechnen. Die Wirkung ist eine einzige Zahl, die von allen diesen Funktionen abhängig ist.

Gesucht ist nun jenes Set von Funktionen $\hat q_i(t)$ und $\hat{\dot q_i}(t)$, also jene spezielle Trajektorie $\hat\Gamma$, für welche die Wirkung den kleinst möglichen Wert hat, also minimal ist.

Mit der folgenden Methode kann die Trajektorie mit der minimalsten Wirkung gefunden werden:

Sei $\hat q_i(t)$ und $\hat{\dot q_i}(t)$ das gesuchte Funktions-Set mit der minimalen Wirkung, also die Lösung des Problems. Wir bilden nun eine Hilfs-Trajektorie (rote Linie), welche aus der gesuchten Trajektorie + einer Abweichung $\alpha\cdot f_i(t)$ besteht:

Bedingung: die Funktionen $f_i(t)$ müssen an den Stellen $t_1$ und $t_2$ Null sein, damit alle möglichen Hilfs-Trajektorien durch die Punkte P1 und P2 gehen!

Die Wirkung kann so als Funktion von $\alpha$ geschrieben werden:

Für $\alpha = 0$ erhalten wir die Trajektorie mit der kleinsten Wirkung. Für alle $\alpha \ne 0$ wird die Wirkung grösser. Das Minimum einer Funktion ist gekennzeichnet dadurch, dass die Ableitung der Funktion an dieser Stelle Null ist:

Das bedeutet: jede Änderung in $\alpha$ erhöht die Wirkung. In unserem Fall ist $W$ an der Stelle $\alpha = 0$ minimal oder zumindest stationär!

Wie ändert sich nun $W$, wenn wir $\alpha$ ein wenig ändern? Wie ändert sich die Lagrangefunktion, wenn wir $\alpha$ ein wenig ändern?

Hinweis: Die Lagrangefunktion kann im Allgemeinen von $t$ abhängig sein. In unserem Fall ist $t$ aber nicht von $\alpha$ abhängig, weshalb $\mathrm d t / \mathrm d \alpha = 0$ ist und keinen Beitrag zur Änderung der Wirkung leistet.

Wenn wir die Formeln (1a) und (1b) nach $\alpha$ ableiten erhalten wir:

Dies in (4) eingesetzt erhalten wir:

Im ersten Term in der Klammer haben wir nun eine beliebige Funktion $f_i(t)$, mit der Einschränkung, dass die Funktion bei $t_1$ und $t_2$ Null sein muss. Im zweiten Term haben wird die Ableitung der Funktion nach der Zeit. Wir möchten nun aber dort lieber auch nur $f_i(t)$ haben. Wie können wir das erreichen?

Durch Partielle Integration! Die Regel der partiellen Integration besagt:

Da in unserem Fall $f_i(t)$ an den Stellen $t_1$ und $t_2$ per Definition Null sind, fällt der zweite Term weg und die Regel sieht wiefolgt aus:

$\dot f(t)$ in obiger Regel entspricht den $\dot f_i(t)$ in (5). $g(t)$ entspricht dann dem Term $\partial \mathcal L / \partial \dot q_i$. Nach obiger Regel können wir nun in (5) im zweiten Term $\dot f_i(t)$ durch $f_i(t)$ ersetzen, indem wir das Vorzeichen ändern und $g(t) = \partial \mathcal L / \partial \dot q_i$ nach der Zeit ableiten:

Die Funktionen $f_i(t)$ können nun ausgekammert werden:

Wir wissen jetzt, wie sich die Wirkung ändert, wenn wir $\alpha$ ein wenig ändern.

Wir suchen nun aber die Stelle, wo die Wirkung minimal/stationär ist, wo also gilt:

Wenn jede einzelne Funktion $f_i(t)$ beliebig sein darf, kann obige Formel nur Null ergeben, wenn der Term zwischen den eckigen Klammern Null wird für jedes einzelne $i$!

Das heisst: Für die Trajektory mit der kleinsten Wirkung muss gelten:

 Dies ist die Euler-Lagrange-Gleichung

Beachte: (7) hat die Form einer lokalen Gleichung! Sie sagt aus, wie bei jedem Punkt auf der Trajektorie weiter gefahren werden muss, um die Trajektorie mit der kleinsten Wirkung zu erhalten!