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Trajektorie mit der kleinsten Wirkung

Die Wirkung eines Systems hängt von der Trajektorie \Gamma ab: W = f(\Gamma). Durch Variation der Trajektorie und bestimmen der Trajektorie mit der kleinsten Wirkung stossen wir auf die Euler-Lagrange-Gleichung.

Die Trajektorie ist definiert als ein Set von Funktionen q_i(t) und \dot q_i(t). Die Funktionen q_i(t) stellen zum Beispiel die Koordinaten von Teilchen in Abhängigkeit der Zeit dar und die Funktionen \dot q_i(t) die zugehörigen Geschwindigkeiten. Für jede erdenkliche Kombination von Funktionen q_i(t) und \dot q_i(t) kann man die zugehörige Wirkung W berechnen. Die Wirkung ist eine einzige Zahl, die von allen diesen Funktionen abhängig ist.

Gesucht ist nun jenes Set von Funktionen \hat q_i(t) und \hat{\dot q_i}(t), also jene spezielle Trajektorie \hat\Gamma, für welche die Wirkung den kleinst möglichen Wert hat, also minimal ist.

Mit der folgenden Methode kann die Trajektorie mit der minimalsten Wirkung gefunden werden:

Trajektorie + alpha * f(t)

Sei \hat q_i(t) und \hat{\dot q_i}(t) das gesuchte Funktions-Set mit der minimalen Wirkung, also die Lösung des Problems. Wir bilden nun eine Hilfs-Trajektorie (rote Linie), welche aus der gesuchten Trajektorie + einer Abweichung \alpha\cdot f_i(t) besteht:

(1a)

q_i(\alpha,t) = \hat q_i(t) + \alpha \cdot f_i(t)

(1b)

\dot q_i(\alpha,t) = \hat{\dot q_i}(t) + \alpha \cdot \dot f_i(t)

wobei'
\alpha ' =' 'eine beliebige Zahl
f_i(t) ' =' 'beliebige Funktionen

Bedingung: die Funktionen f_i(t) müssen an den Stellen t_1 und t_2 Null sein, damit alle möglichen Hilfs-Trajektorien durch die Punkte P1 und P2 gehen!

Die Wirkung kann so als Funktion von \alpha geschrieben werden:

(2)
W(\alpha) = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L \bigl(t,\, q_i(\alpha,t),\, \dot q_i(\alpha,t) \bigr)\ \mathrm d t

Für \alpha = 0 erhalten wir die Trajektorie mit der kleinsten Wirkung. Für alle \alpha \ne 0 wird die Wirkung grösser. Das Minimum einer Funktion ist gekennzeichnet dadurch, dass die Ableitung der Funktion an dieser Stelle Null ist:

(3)
{\mathrm d W(\alpha) \over \mathrm d \alpha} = 0

Das bedeutet: jede Änderung in \alpha erhöht die Wirkung. In unserem Fall ist W an der Stelle \alpha = 0 minimal oder zumindest stationär!

Wie ändert sich nun W, wenn wir \alpha ein wenig ändern? Wie ändert sich die Lagrangefunktion, wenn wir \alpha ein wenig ändern?

(4)
{\mathrm d W \over \mathrm d \alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \sum_i \left[ {\partial \mathcal L \over \partial t}{\mathrm d t \over \mathrm d \alpha} + {\partial \mathcal L \over \partial q_i}{\mathrm d q_i \over \mathrm d \alpha} + {\partial \mathcal L \over \partial \dot q_i}{\mathrm d \dot q_i \over \mathrm d \alpha} \right]\ \mathrm d t
oder
\delta W = \int_{t_1}^{t_2} \sum_i \left[ {\partial \mathcal L \over \partial t}\delta t + {\partial \mathcal L \over \partial q_i}\delta q_i + {\partial \mathcal L \over \partial \dot q_i}\delta \dot q_i \right]\ \mathrm d t

Hinweis: Die Lagrangefunktion kann im Allgemeinen von t abhängig sein. In unserem Fall ist t aber nicht von \alpha abhängig, weshalb \mathrm d t / \mathrm d \alpha = 0 ist und keinen Beitrag zur Änderung der Wirkung leistet.

Wenn wir die Formeln (1a) und (1b) nach \alpha ableiten erhalten wir:

{\mathrm d q_i \over \mathrm d \alpha} = {\mathrm d \over \mathrm d \alpha} \left[ \hat q_i(t) + \alpha \cdot f_i(t)\right] = f_i(t) \qquad
{\mathrm d \dot q_i \over \mathrm d \alpha} = {\mathrm d \over \mathrm d \alpha}\left[ \hat{\dot q_i}(t) + \alpha \cdot \dot f_i(t) \right] = \dot f_i(t)

Dies in (4) eingesetzt erhalten wir:

(5)
{\mathrm d W \over \mathrm d \alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \sum_i \left[ {\partial \mathcal L \over \partial q_i} f_i(t) + {\partial \mathcal L \over \partial \dot q_i} \dot f_i(t) \right]\, \mathrm d t

Im ersten Term in der Klammer haben wir nun eine beliebige Funktion f_i(t), mit der Einschränkung, dass die Funktion bei t_1 und t_2 Null sein muss. Im zweiten Term haben wird die Ableitung der Funktion nach der Zeit. Wir möchten nun aber dort lieber auch nur f_i(t) haben. Wie können wir das erreichen?

Durch Partielle Integration! Die Regel der partiellen Integration besagt:

(R1)
\int_{t_1}^{t_2} \dot f(t) \cdot g(t) \ \mathrm d t = \bigl[ f(t) \cdot g(t) \bigr]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} f(t) \cdot \dot g(t) \ \mathrm d t

Da in unserem Fall f_i(t) an den Stellen t_1 und t_2 per Definition Null sind, fällt der zweite Term weg und die Regel sieht wiefolgt aus:

(R2)
\int_{t_1}^{t_2} \dot f(t) \cdot g(t) \ \mathrm d t = - \int_{t_1}^{t_2} f(t) \cdot \dot g(t) \ \mathrm d t \qquad \big|\, f(t_1) = f(t_2) = 0

\dot f(t) in obiger Regel entspricht den \dot f_i(t) in (5). g(t) entspricht dann dem Term \partial \mathcal L / \partial \dot q_i. Nach obiger Regel können wir nun in (5) im zweiten Term \dot f_i(t) durch f_i(t) ersetzen, indem wir das Vorzeichen ändern und g(t) = \partial \mathcal L / \partial \dot q_i nach der Zeit ableiten:

{\mathrm d W \over \mathrm d \alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \sum_i \left[ {\partial \mathcal L \over \partial q_i} f_i(t) - {\mathrm d \over \mathrm d t} {\partial \mathcal L \over \partial \dot q_i} f_i(t) \right] \ \mathrm d t \qquad \big|\, f_i(t_1) = f_i(t_2) = 0

Die Funktionen f_i(t) können nun ausgekammert werden:

(6)
{\mathrm d W \over \mathrm d \alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \sum_i \left\{ \left[ {\partial \mathcal L \over \partial q_i} - {\mathrm d \over \mathrm d t} {\partial \mathcal L \over \partial \dot q_i} \right] f_i(t) \right \} \ \mathrm d t \qquad \big|\, f_i(t_1) = f_i(t_2) = 0

Wir wissen jetzt, wie sich die Wirkung ändert, wenn wir \alpha ein wenig ändern.

Wir suchen nun aber die Stelle, wo die Wirkung minimal/stationär ist, wo also gilt:

{\mathrm d W \over \mathrm d \alpha} = \int_{t_1}^{t_2} \sum_i \left\{ \left[ {\partial \mathcal L \over \partial q_i} - {\mathrm d \over \mathrm d t} {\partial \mathcal L \over \partial \dot q_i} \right] f_i(t) \right\} \ \mathrm d t = 0

Wenn jede einzelne Funktion f_i(t) beliebig sein darf, kann obige Formel nur Null ergeben, wenn der Term zwischen den eckigen Klammern Null wird für jedes einzelne i!

Das heisst: Für die Trajektory mit der kleinsten Wirkung muss gelten:

(7)
{\partial \mathcal L \over \partial q_i} - {\mathrm d \over \mathrm d t} {\partial \mathcal L \over \partial \dot q_i} = 0 \qquad{\rm bzw.}\qquad {\mathrm d \over \mathrm d t} {\partial \mathcal L \over \partial \dot q_i} = {\partial \mathcal L \over \partial q_i} \qquad \text{für jedes}\ i

 Dies ist die Euler-Lagrange-Gleichung

Beachte: (7) hat die Form einer lokalen Gleichung! Sie sagt aus, wie bei jedem Punkt auf der Trajektorie weiter gefahren werden muss, um die Trajektorie mit der kleinsten Wirkung zu erhalten!

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Erzeugt Sonntag, 3. Januar 2010
von wabis
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Geändert Sonntag, 29. Juni 2014
von wabis