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Trajektorie mit der kleinsten Wirkung

Die Wirkung eines Systems hängt von der Trajektorie ab: . Durch Variation der Trajektorie und bestimmen der Trajektorie mit der kleinsten Wirkung stossen wir auf die Euler-Lagrange-Gleichung.

Die Trajektorie ist definiert als ein Set von Funktionen und . Die Funktionen stellen zum Beispiel die Koordinaten von Teilchen in Abhängigkeit der Zeit dar und die Funktionen die zugehörigen Geschwindigkeiten. Für jede erdenkliche Kombination von Funktionen und kann man die zugehörige Wirkung berechnen. Die Wirkung ist eine einzige Zahl, die von allen diesen Funktionen abhängig ist.

Gesucht ist nun jenes Set von Funktionen und , also jene spezielle Trajektorie , für welche die Wirkung den kleinst möglichen Wert hat, also minimal ist.

Mit der folgenden Methode kann die Trajektorie mit der minimalsten Wirkung gefunden werden:

Trajektorie + alpha * f(t)

Sei und das gesuchte Funktions-Set mit der minimalen Wirkung, also die Lösung des Problems. Wir bilden nun eine Hilfs-Trajektorie (rote Linie), welche aus der gesuchten Trajektorie + einer Abweichung besteht:

(1a)

(1b)

wobei'
' =' 'eine beliebige Zahl
' =' 'beliebige Funktionen

Bedingung: die Funktionen müssen an den Stellen und Null sein, damit alle möglichen Hilfs-Trajektorien durch die Punkte P1 und P2 gehen!

Die Wirkung kann so als Funktion von geschrieben werden:

(2)

Für erhalten wir die Trajektorie mit der kleinsten Wirkung. Für alle wird die Wirkung grösser. Das Minimum einer Funktion ist gekennzeichnet dadurch, dass die Ableitung der Funktion an dieser Stelle Null ist:

(3)

Das bedeutet: jede Änderung in erhöht die Wirkung. In unserem Fall ist an der Stelle minimal oder zumindest stationär!

Wie ändert sich nun , wenn wir ein wenig ändern? Wie ändert sich die Lagrangefunktion, wenn wir ein wenig ändern?

(4)
oder

Hinweis: Die Lagrangefunktion kann im Allgemeinen von abhängig sein. In unserem Fall ist aber nicht von abhängig, weshalb ist und keinen Beitrag zur Änderung der Wirkung leistet.

Wenn wir die Formeln (1a) und (1b) nach ableiten erhalten wir:

Dies in (4) eingesetzt erhalten wir:

(5)

Im ersten Term in der Klammer haben wir nun eine beliebige Funktion , mit der Einschränkung, dass die Funktion bei und Null sein muss. Im zweiten Term haben wird die Ableitung der Funktion nach der Zeit. Wir möchten nun aber dort lieber auch nur haben. Wie können wir das erreichen?

Durch Partielle Integration! Die Regel der partiellen Integration besagt:

(R1)

Da in unserem Fall an den Stellen und per Definition Null sind, fällt der zweite Term weg und die Regel sieht wiefolgt aus:

(R2)

in obiger Regel entspricht den in (5). entspricht dann dem Term . Nach obiger Regel können wir nun in (5) im zweiten Term durch ersetzen, indem wir das Vorzeichen ändern und nach der Zeit ableiten:

Die Funktionen können nun ausgekammert werden:

(6)

Wir wissen jetzt, wie sich die Wirkung ändert, wenn wir ein wenig ändern.

Wir suchen nun aber die Stelle, wo die Wirkung minimal/stationär ist, wo also gilt:

Wenn jede einzelne Funktion beliebig sein darf, kann obige Formel nur Null ergeben, wenn der Term zwischen den eckigen Klammern Null wird für jedes einzelne !

Das heisst: Für die Trajektory mit der kleinsten Wirkung muss gelten:

(7)

 Dies ist die Euler-Lagrange-Gleichung

Beachte: (7) hat die Form einer lokalen Gleichung! Sie sagt aus, wie bei jedem Punkt auf der Trajektorie weiter gefahren werden muss, um die Trajektorie mit der kleinsten Wirkung zu erhalten!

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Erzeugt Sonntag, 3. Januar 2010
von wabis
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Geändert Sonntag, 29. Juni 2014
von wabis