Transformation von Tensoren

Wird ein Tensor von einem Koordinatensystem in ein anderes Transformiert, so nimmt man implizit an, dass man in beiden Systemen jenen Tensor vergleicht, der an einer gemeinsamen Stelle im Raum steht.

Bei der Transformation eines Tensors ändern sich im Allgemeinen sowohl die Komponenten des Tensors selbst, als auch seine Positions-Koordinaten. Bei der Tensor-Rechnung interessiert jedoch nicht die Position des Tensors, sondern wie sich seine Komponenten von einem System ins andere Transformieren.

Trotz der unterschiedlichen Komponenten beschreibt der Tensor in jedem Koordinatensystem dasselbe Objekt. Dieses Objekt verändert sich durch die Transformation nicht. So bleibt z.B. die Länge eines Vektors in jedem System gleich, man sagt, die Länge ist invariant bezüglich Koordinatentransformation.

Transformation von Skalaren

Ein Skalar ist die einfachste Form eines Tensors. Der Skalar ist ein Tensor mit Rang 0. Der Wert eines Skalars hängt nicht vom gewählten Koordinatensystem ab.

Ein Beispiel für einen Skalar ist die Temperatur. An jedem Punkt des Raumes kann eine andere Temperatur herrschen, aber diese Temperatur ist unabhängig davon, in welchem Koordinatensystem sie gemessen wird.

Man sagt: Ein Skalar ist invariant bezüglich Koordinatentransformationen.

Mathematisch kann man die Transformation eines Skalars wiefolgt darstellen:

Der Skalar $\phi$ an der Stelle $\mathbf{P}$ hat im Koordinatensystem Y denselben Wert wie im Koordinatensystem X an derselben Stelle.

Hinweis: Die Koordinaten des Punktes $\mathbf{P}$ können sich in den beiden Koordinatensystemen unterscheiden, was uns in der Tensor-Rechnung jedoch nicht interessiert. Es geht darum, wie sich der Tensor selbst transformiert.

Transformation von Vektoren

Um zu untersuchen, wie ein Vektor transformiert wird, betrachten wir einen infinitesimal kleinen Vektor $\mathrm{d} \vec s = \mathrm{d} \mathbf{s}$:

Dieser Vektor hat im X-Koordinatensystem die Komponenten:

Derselbe physikalische Vektor kann auch in Koordinaten des Y-Koordinatensystems beschrieben werden:

Jedes einzelne $\mathrm{d} y^i$ ist eine Funktion von allen $\mathrm{d} x^i$ und umgekehrt ist jedes einzelne $\mathrm{d} x^i$ eine Funktion von allen $\mathrm{d} y^i$.

Wir suchen nun den Zusammenhang der Koordinaten zwischen dem X- und Y-Koordinatensystem. Konzentrieren wir uns zunächst auf eine einzelne Y-Komponente, sagen wir $\mathrm{d} y^1$. Analog wie in Differentialrechnung mit mehreren Variablen können wir dafür schreiben, wenn wir $\mathrm{d} \phi$ durch $\mathrm{d} y^1$ ersetzen:

Wir sehen, dass $\mathrm{d} y^1$ von allen $\mathrm{d} x^i$ abhängig ist.

Die anderen Koordinaten erhält man einfach, indem man 1 durch 2, 3 usw. ersetzt. Dies kann man elegant wiefolgt zusammenfassen:

Beachte, dass über den Dummy-Index $m$ summiert wird (siehe Einsteinsche Summenkonvention).

Die Formel (5) sagt uns also, wie sich der kleine Vektor $\mathrm{d} \mathbf{s}$ transformiert: Er transformiert sich, indem er mit $\partial y^n / \partial x^m$ multipliziert wird. Dieser Therm stellt eine DxD-Matrix dar, wobei $D$ die Dimension des Raumes ist. Im 3-dimensionalen Raum ist das also eine 3x3-Matrix mit 9 Elementen. Bei der Formel (5) handelt es sich also um eine Marix-Vektor-Multiplikation.

Diese Formel gilt nicht nur für infinitesimale Vektoren, sondern für beliebige Vektoren:

Definition: Vektoren, die auf diese Weise (6) zwischen Koordinatensystemen transformiert werden, nennt man Tensoren. Wenn die Indizes oben sind, spricht man von kontravarianten Komponenten und Vektoren, wenn die Indizes unten sind von kovarianten Komponenten und Vektoren.

Transformation von Tensoren mit Rang 2

Einen Tensor von Rang 2 kann man sich nicht so leicht vorstellen. Eine mögliche Vorstellung ist, dass es sich um ein Ding handelt, das mehrere Richtungen pro Raumpunkt hat.

Ein Tensor $T$ von Rang 2 kann einfach gebildet werden, indem jede Komponente von $T$ das Produkt der entsprechenden Komponenten von 2 Vektoren $A$ und $B$ ist:

$( T^{\,mn} )$ ist also ein Objekt mit $D^2$ Komponenten, in diesem Fall also eine DxD-Matrix. Ob es sich dabei um einen Tensor handelt, muss nun noch überprüft werden, indem geschaut wird, wie sich die Komponenten transformieren.

Wir wissen aus (6) wie ein Tensor von Rang 1 transformiert wird. Wenden wir dieses Wissen auf das Produkt der Vektoren $A$ und $B$ an:

Da es sich bei jedem Term in (8) um eine einfache Zahl handelt, dürfen die Terme beliebig umgestellt werden.

Eretzen wir nun $A^m B^n$ durch $T^{\,mn}$ und $A^r B^s$ durch $T^{\,rs}$:

Definition: Eine Matrix, deren Komponenten sich wie in (9) transformieren, ist ein Tensor von Rang 2.

Die einfache Formel (9) stellt für $D = 3$ Dimensionen $D^2 = 9$ Gleichungen dar! Ausgeschrieben sieht die Formel (9) folgendermassen aus:

Transformation von Tensoren mit Rang grösser als 2

Durch Vergleich von (6) und (9) können wir ein Muster erkennen, wie Tensoren von höheren Rängen transformiert werden. Für jeden Tensor-Index muss einfach ein weiterer Term $\partial y / \partial x$ eingefügt werden.

Beispiel eines Tensors mit Rang 3:

Die Komponenten von Tensoren müssen nicht nur einfache Zahlen sein, sondern sind in der Regel Funktionen der Position, also Felder: $T^{\,mn} = f_{mn}(\vec x)$.