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Transformation von Ableitungen

Angenommen, wir haben eine Funktion , welche jedem Punkt im Raum einen Wert zuweist, z.B. eine Temperatur. Der Wert ist also abhängig von den Koordinaten eines Vektors . Die Koordinaten dieses Vektors werden bezüglich eines bestimmten Koordinatensystems angegeben, nennen wir es das X-Koordinatensystem.

Partielle Ableitungen

Wir können die Funktion nach jeder Koordinaten-Richtung separat ableiten, indem wir die anderen Koordinaten fixieren. Eine solche Ableitung nennt man partielle Ableitung. Damit erhalten wir für jeden Punkt D Ableitungen. D ist die Dimension des Raumes, gibt also die Anzahl Koordinaten jedes Vektors in diesem Raum an und damit auch die Anzahl der partiellen Ableitungen:

(1)
wobei'
' =' 'partielle Ableitung der Funktion an der Stelle in Richtung der Koordinaten-Achse

Wir können die einzelnen Ableitungen als Komponenten eines kovarianten Vektors interpretieren:

(2)

Beachte: Die Ableitung nach einer kontravarianten Komponente ergibt eine kovariante Komponente und umgekehrt. Da im Nenner der Index von oben steht (kontravariant), muss also der Index von unten (kovariant) stehen.

Notation

Im Folgenden nehmen wir an, dass alle Berechnungen für einen beliebigen Punkt (egal in welchem Koordinatensystem ausgedückt) stattfinden. Wir können uns Schreibarbeit sparen, indem wir nicht jedesmal hinschreiben. Gleichung (2) wird damit:

(3)

Totales Differential

Aus den partiellen Differentialen können wir das Totale Differential bilden. Dieses drückt aus, wie sich die Funktion verändert, wenn sich die Komponenten von um den Betrag ändern (siehe auch Differentialrechnung mit mehreren Variablen):

(4)

Beachte: Der Term ist das Skalarprodukt zweier Vektoren. Somit ist ein Skalar. Das heisst, es gibt an jedem Punkt des Raumes genau einen Wert für das totale Differential.

Transformation in ein anderes Koordinatensystem

Mit Hilfe des totalen Differentials können wir aus den partiellen Ableitungen bezüglich dem X-Koordinatensystem die partiellen Ableitungen bezüglich eines anderen Koordinatensystems, nennen wir es Y-Koordinatensystem, berechnen.

Dazu müssen wir nur (4) durch dividieren:

(5)
wobei'
' =' 'Partielle Ableitung von nach bezüglich Y-Koordinatensystem
' =' 'Partielle Ableitung von nach bezüglich X-Koordinatensystem
' =' 'DxD Matrix (D = Dimension) gebildet aus und
' =' 'Kovariante Komponente des Vektors bezüglich Y-Koordinatensystem
' =' 'Kovariante Komponente des Vektors bezüglich X-Koordinatensystem

Hier gilt wieder die Einsteinsche Summenkonvention, da der Index zweimal vorkommt. Beachte, dass über nicht summiert wird!

Beachte: Weil ein Skalar ist, hat dieser in beiden Koordinatensystemen an der selben Stelle den selben Wert. Die partielle Ableitung nach ist jedoch nicht dasselbe wie die partielle Ableitung nach . Daher schreibe ich das Bezugs-Koordinatensystem in runden Klammern hinter den Ausdruck.

Der grüne Term stellt eine DxD Transformations-Matrix dar, wobei D die Dimension des Koordinatensystems ist.

Ausgeschrieben ergibt Formel (5):

(6)

Zeile (6) steht für die folgenden Formeln:

(5)
:
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Erzeugt Donnerstag, 8. Oktober 2009
von wabis
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Geändert Freitag, 25. März 2016
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