Angenommen, wir haben eine Funktion
Wir können die Funktion
(1) | ||||
wobei' |
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Wir können die einzelnen Ableitungen als Komponenten eines kovarianten Vektors
(2) |
Beachte: Die Ableitung nach einer kontravarianten Komponente ergibt eine kovariante Komponente und umgekehrt. Da im Nenner der Index von
Im Folgenden nehmen wir an, dass alle Berechnungen für einen beliebigen Punkt
(3) |
Aus den partiellen Differentialen können wir das Totale Differential
(4) |
Beachte: Der Term
Mit Hilfe des totalen Differentials können wir aus den partiellen Ableitungen bezüglich dem X-Koordinatensystem die partiellen Ableitungen bezüglich eines anderen Koordinatensystems, nennen wir es Y-Koordinatensystem, berechnen.
Dazu müssen wir nur (4) durch
(5) |
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wobei' |
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Hier gilt wieder die Einsteinsche Summenkonvention, da der Index
Beachte: Weil
Der grüne Term
Ausgeschrieben ergibt Formel (5):
(6) |
Zeile (6) steht für die folgenden
(5) | |
: |