Transformation von Ableitungen

Angenommen, wir haben eine Funktion $\phi$ , welche jedem Punkt im Raum einen Wert zuweist, z.B. eine Temperatur. Der Wert ist also abhängig von den Koordinaten $x^i$ eines Vektors $\vec x$ . Die Koordinaten dieses Vektors werden bezüglich eines bestimmten Koordinatensystems angegeben, nennen wir es das X-Koordinatensystem.

Partielle Ableitungen

Wir können die Funktion $\phi(\vec x)$ nach jeder Koordinaten-Richtung $x^i$ separat ableiten, indem wir die anderen Koordinaten fixieren. Eine solche Ableitung nennt man partielle Ableitung. Damit erhalten wir für jeden Punkt D Ableitungen. D ist die Dimension des Raumes, gibt also die Anzahl Koordinaten jedes Vektors in diesem Raum an und damit auch die Anzahl der partiellen Ableitungen:

(1)

${ \partial \phi(\vec x) \over \partial x^1 }, { \partial \phi(\vec x) \over \partial x^2 }, ...$

wobei^'

$\partial \phi(\vec x) / \partial x^i$ ^'

=^'

^'partielle Ableitung der Funktion $\phi$ an der Stelle $\vec x$ in Richtung der Koordinaten-Achse $x^i$

Wir können die einzelnen Ableitungen als Komponenten eines kovarianten Vektors $\vec v(\vec x)$ interpretieren:

(2)	$\vec v(\vec x) = \left( { \partial \phi(\vec x) \over \partial x^1 }, { \partial \phi(\vec x) \over \partial x^2 }, \ldots \right) \qquad \Rightarrow \qquad v_i(\vec x) = { \partial \phi(\vec x) \over \partial x^i }$

Beachte: Die Ableitung nach einer kontravarianten Komponente ergibt eine kovariante Komponente und umgekehrt. Da im Nenner der Index von $x^i$ oben steht (kontravariant), muss also der Index von $v_i$ unten (kovariant) stehen.

Notation

Im Folgenden nehmen wir an, dass alle Berechnungen für einen beliebigen Punkt $\vec x$ (egal in welchem Koordinatensystem ausgedückt) stattfinden. Wir können uns Schreibarbeit sparen, indem wir $(\vec x)$ nicht jedesmal hinschreiben. Gleichung (2) wird damit:

(3)	$\vec v = \left( { \partial \phi \over \partial x^1 }, { \partial \phi \over \partial x^2 }, \ldots \right) \qquad \Rightarrow \qquad v_i = { \partial \phi \over \partial x^i }$

Totales Differential

Aus den partiellen Differentialen können wir das Totale Differential $\mathrm{d} \phi$ bilden. Dieses drückt aus, wie sich die Funktion $\phi$ verändert, wenn sich die Komponenten von $\vec x$ um den Betrag $\mathrm{d} \vec x$ ändern (siehe auch Differentialrechnung mit mehreren Variablen):

(4)

$\mathrm{d} \phi = { \partial \phi \over \partial x^1 } \, \mathrm{d} x^{ 1 } + { \partial \phi \over \partial x^2 } \, \mathrm{d} x^{ 2 } + ... = \color{blue}{ { \partial \phi \over \partial x^{\color{red}{ m }} } } \ \color{green}{ \mathrm{d} x^{ \color{red}{m} } } = \color{blue}{ v } \color{red}{ _m } \cdot \color{green}{ \mathrm{d} x } \color{red}{^m}$

Beachte: Der Term $v_m \cdot \mathrm{d} x^m$ ist das Skalarprodukt zweier Vektoren. Somit ist $\mathrm{d} \phi$ ein Skalar. Das heisst, es gibt an jedem Punkt $\vec x$ des Raumes genau einen Wert für das totale Differential.

Transformation in ein anderes Koordinatensystem

Mit Hilfe des totalen Differentials können wir aus den partiellen Ableitungen bezüglich dem X-Koordinatensystem die partiellen Ableitungen bezüglich eines anderen Koordinatensystems, nennen wir es Y-Koordinatensystem, berechnen.

Dazu müssen wir nur (4) durch $\mathrm{d} y^n$ dividieren:

(5)

${ \partial \phi(\mathrm{Y}) \over \partial y^n } = \color{blue}{ \partial \phi(\mathrm{X}) \over \partial x^{ \color{red}{m} } } \ \color{green}{ { \partial x^{\color{red}{m}} \over \partial y^n } } \qquad\Rightarrow\qquad v_n(\mathrm{Y}) = \color{blue}{v}_{\color{red}{m}} \color{blue}{(\mathrm{X})} \cdot \color{green}{M}^{\color{red}{m}}_{\color{green}{n}}$

wobei^'

$\partial \phi(\mathrm{Y}) / \partial y^n$ ^'	=^'	^'Partielle Ableitung von $\phi$ nach $y^n$ bezüglich Y-Koordinatensystem
$\partial \phi(\mathrm{Y}) / \partial x^m$ ^'	=^'	^'Partielle Ableitung von $\phi$ nach $x^m$ bezüglich X-Koordinatensystem
$M^m_n$ ^'	=^'	^'DxD Matrix (D = Dimension) gebildet aus $\partial x$ und $\partial y$
$v_n(\mathrm{Y})$ ^'	=^'	^'Kovariante Komponente $n$ des Vektors $\mathbf{v}$ bezüglich Y-Koordinatensystem
$v_m(\mathrm{X})$ ^'	=^'	^'Kovariante Komponente $m$ des Vektors $\mathbf{v}$ bezüglich X-Koordinatensystem

Hier gilt wieder die Einsteinsche Summenkonvention, da der Index $\color{red}{m}$ zweimal vorkommt. Beachte, dass über $n$ nicht summiert wird!

Beachte: Weil $\phi$ ein Skalar ist, hat dieser in beiden Koordinatensystemen an der selben Stelle den selben Wert. Die partielle Ableitung nach $y^i$ ist jedoch nicht dasselbe wie die partielle Ableitung nach $x^i$ . Daher schreibe ich das Bezugs-Koordinatensystem in runden Klammern hinter den Ausdruck.

Der grüne Term $\color{green}{\partial x^m / \partial y^n}$ stellt eine DxD Transformations-Matrix $M^m_n$ dar, wobei D die Dimension des Koordinatensystems ist.

Ausgeschrieben ergibt Formel (5):

(6)

$v_{\color{blue}{n}}(\mathrm{Y}) = {\partial\phi(\mathrm{Y})\over\partial y^{\color{blue}{n}}} = {\partial\phi(\mathrm{X})\over\partial x^{\color{red}{1}}}\ \color{green}{{\partial x^{\color{red}{1}}\over\partial y^{\color{blue}{n}}}} + {\partial\phi(\mathrm{X})\over\partial x^{\color{red}{2}}}\ \color{green}{{\partial x^{\color{red}{2}}\over\partial y^{\color{blue}{n}}}} + ... \qquad \Bigl|\ n = 1...D$

Zeile (6) steht für die folgenden $D$ Formeln:

(5)	$v_{\color{blue}{1}}(\mathrm{Y}) = {\partial\phi(\mathrm{Y})\over\partial y^{\color{blue}{1}}} = {\partial\phi(\mathrm{X})\over\partial x^{\color{red}{1}}}\ \color{green}{{\partial x^{\color{red}{1}}\over\partial y^{\color{blue}{1}}}} + {\partial\phi(\mathrm{X})\over\partial x^{\color{red}{2}}}\ \color{green}{{\partial x^{\color{red}{2}}\over\partial y^{\color{blue}{1}}}} + ...$
	$v_{\color{blue}{2}}(\mathrm{Y}) = {\partial\phi(\mathrm{Y})\over\partial y^{\color{blue}{2}}} = {\partial\phi\over\partial x^{\color{red}{1}}}\ \color{green}{{\partial x^{\color{red}{1}}\over\partial y^{\color{blue}{2}}}} + {\partial\phi(\mathrm{X})\over\partial x^{\color{red}{2}}}\ \color{green}{{\partial x^{\color{red}{2}}\over\partial y^{\color{blue}{2}}}} + ...$
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