Tensoren sind Grössen, mit deren Hilfe man Skalare, Vektoren und weitere Grössen analoger Struktur in ein einheitliches Schema zur Beschreibung mathematischer und physikalischer Zusammenhänge einordnen kann. Sie sind definiert durch ihre Transformationseigenschaften gegenüber orthogonalen Transformationen wie z.B. Drehungen. Es geht darum, was ändert sich, was ändert sich nicht, wenn man das Bezugssystem ändert? [1]

Die Besonderheit von Tensorgleichungen ist, dass sie transformations-invariant sind. Wenn es gelingt, einen physikalischen Sachverhalt in Tensorschreibweise zu formulieren, so kann man wegen der speziellen Art, wie Tensoren transformieren, sicher sein, dass die Gleichungen in jedem beliebigen Koordinatensystem gelten.

Rang oder Stufe eines Tensors und Indizes

Tensoren haben Indizes. Die Anzahl der Indizes gibt den Rang oder die Stufe des Tensors an.

Die Indizes laufen entsprechend der Dimension $D$ des Raumes über $1..D$. Bei der 4-dimensionalen Raumzeit beginnt die Nummerierung bei 0, wobei der Index 0 die zeitliche Komponente betrifft.

Beim Arbeiten mit den Tensoren muss die Reihenfolge der Indices immer klar sein. Das Element t₁₂ eines Tensors ist in der Regel vom Element t₂₁ verschieden.

Der einfachste Tensor ist ein Tensor mit Rang 0. Dabei handelt es sich einfach um einen Skalar. Ein Skalar hat eigentlich keine Komponenten, sondern ist nur ein einzelner Wert und benötigt somit keinen Index; daher der Rang 0.

Ein Tensor mit nur einem Index nennt man auch Vektor. Man sagt, der Vektor ist ein Tensor mit dem Rang 1. Der Index hat so viele Werte, wie die Dimension des Vektors. Bei einem 3-dimensionalen Vektor hat der Index also 3 Werte (z.B: 1, 2, 3), weil der Vektor 3 Komponenten hat: $\vec V = (V^1, V^2, V^3)$.

Ein Tensor vom Rang 2 hat 2 Indizes und stellt eine quadratische Matrix dar usw.

Jede Tensor-Komponente kann eine Funktion oder eine Zahl sein. In der AR sind die Komponenten in der Regel Funktionen der Raumzeit.

Dimension eines Tensors

Ein Vektor oder Tensor ist ein Objekt, welches Komponenten hat. Die Anzahl der Komponenten eines Vektors enstpricht der Dimension D des Raumes. Ein 3-dimensionaler Vektor besteht somit aus 3 Komponenten. Ein 3-dimensionaler Tensor der Stufe 2 besteht aus 3x3 Komponenten usw.

Tensoren und Koordinatensysteme

In der Anwendung steht das Tensorsymbol immer für eine bestimmte Bedeutung. Zum Beispiel den Ort eines Teilchens. Der Ort kann in verschiedenen Koordinatensystemen gemessen werden. Entsprechend haben die Komponenten des Tensors in jedem Koordinatensystem andere Werte. Doch der Tensor bleibt der Selbe, egal in welchem Koordinatensystem er gemessen wird. So ist z.B. die Länge eines Vektors in jedem Koordinatensystem dieselbe, auch wenn sich die Komponenten in den verschiedenen Koordinatensystemen unterscheiden.

Man unterscheidet bei Tensoren zwei Arten von Komponenten:

Bei Tensoren ab Rang 2 können kontravariante und kovariante Komponenten gleichzeitig vorkommen. Ein solcher Tensor hat dann Indizes sowohl oben als auch unten: ${T^m}_n$.

Jeder Tensor kann sowohl in kontravarianten, als auch in kovarianten Komponenten dargestellt werden. Der Wechsel von einem Tensor in kontravarianter Darstellung zu einem Tensor in kovarianter Darstellung, wird "Index ziehen" oder Index Manipulation genannt. Die Umrechnung geht durch Multiplikation mit dem sog. Metrischen Tensor.

Ob die Indizes oben oder unten sind, es handelt sich jeweils um ein und denselben Tensor mit derselben physikalischen Bedeutung. Lediglich die Werte der Komponenten unterscheiden sich, weil sie sich auf verschiedene Koordinatensysteme beziehen.

 Kovariante und Kontravariante Komponenten

Typ eines Tensors

Wenn Rang, Dimension und Komponenten-Arten (Anzahl Indizes oben und unten) von Tensoren übereinstimmen, dann sagt man, die Tensoren sind vom selben Typ. Dies muss bei der Tensor-Arithmetik beachtet werden.

Weitere Informationen

[1]

Tensoranalysis – eine Einführung (PDF); Professor Noack; Einstieg in die Tensoranalysis
http://www.itp.uni-bremen.de/~noack/tensors.pdf

[2]

Über Tensoren, Matrizen und Pseudovektoren (PDF); Georg Bernhardt
http://www.thaleskreis.de/materialien/tensoren.pdf

[3]

Schaum's Outline of Tensor Calculus; David C. Key; ISBN 978-0070334847
Einfach verständlich und kurzgefasst sind die Bücher aus der Schaum's Outline Serie. Hier gibt es den preiswerten und mit vielen vorgerechneten Beispielen versehenen Band

[4]

Tensoranalysis; Heinz Schade und Klaus Neemann; ISBN 978-3110206968
Umfangreicheres Buch

[5]

Theo Kovariante Formulierungen (PDF); Ein Blick in die Anwendung von Tensoren in der Elektrodynamik
http://user.uni-frankfurt.de/~fmphyadm/tp/tp3/ws0405/folien/05-01-20%20Theo%20Kovariante%20Formulierungen.pdf

[6]

Tensoranalysis (PDF); eine Einführung von C.C. Noack
http://www.itp.uni-bremen.de/~noack/tensors.pdf

[7]

Kovariante Formulierung des Elektromagnetismus und der Elektrodynamik (PDF)
http://user.uni-frankfurt.de/~fmphyadm/tp/tp3/ws0405/folien/05-01-20%20Theo%20Kovariante%20Formulierungen.pdf

Quellen

[1]

Einfuhrung in die Tensorrechnung (PDF); Quelle: Kapitel 10 aus: Christian B. Lang und Norbert Pucker. Mathematische Methoden in der Physik, Spektrum Akade-mischer Verlag, Elsevier, Munchen, 2005.
http://www.physik.uzh.ch/~strauman/physik-a/Ergaenzung_Tensoren.pdf

[2]

Was ist ein Tensor?; Autor unbekannt; Aus Yahoo Clever: Wissenschaft & Mathematik > Mathematik;
Ausschnitte der Beschreibung dieser Seite und die ersten 5 Referenzen unter Weitere Informationen stammen aus dieser Quelle
http://de.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090217140400AAeNQnT