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Barometrische Höhenformel

Die barometrische Höhenformel beschreibt die vertikale Verteilung der (Gas-)Teilchen in der Atmosphäre der Erde, also die Änderung des Luftdruckes mit der Höhe. Man spricht daher auch von einem vertikalen Druck-Gradienten, der jedoch aufgrund der hohen Wetterdynamik innerhalb der unteren Atmosphäre nur mit Näherungen auf mathematischem Wege beschrieben werden kann.

Rechenformular

In der einfachsten Form kann grob angenommen werden, dass der Luftdruck in der Nähe des Meeresspiegels um ein Hektopascal [hPa] je acht Meter Höhenzunahme abnimmt.

Die Thermische Zustandsgleichung idealer Gase beschreibt, wie Druck, Dichte und Temperatur der Atmosphäre miteinander gekoppelt sind. Wenn zwei der Werte bekannt sind, kann der dritte daraus berechnet werden. Aufgrund der Erdbeschleunigung wird die Atmosphäre immer dichter, je weiter man sich der Erdoberfläche nähert. Die Dichte ist aber auch von der Temperatur abhängig, welche nicht so einfach berechnet werden kann. Es wird im Standardmodell daher ein mittlerer gemessener Temperaturverlauf festgelegt. Damit kann dann die Dichte und der Druck in Abhängigkeit der Höhe (bzw. Temperatur) eindeutig berechnet werden.

Temperatur

Das in der Luftfahrt verwendete Modell der Standardatmosphäre teilt die Atmosphäre in verschiedene Luftschichten mit jeweils linearem Temperaturverlauf ein. Der Temperaturverlauf in einer dieser Luftschichten wird mittels des Temperatur-Gradienten α_i beschrieben. Die Temperatur in einer beliebigen Höhe kann daraus folgendermassen berechnet werden:

(1)

$T(h) = T_\mathrm{ref} + \alpha_i\, (h-h_\mathrm{ref})$

wobei^'

$T(h)$ ^'	=^'	^'Temperatur in der Höhe h in Kelvin
$T_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Temperatur in einer Bezugshöhe (z.B. Meereshöhe)
$\alpha_i$ ^'	=^'	^'Temperatur-Gradient in der i-ten Schicht in K/m (Kelvin pro Meter)
$h$ ^'	=^'	^'Höhe in m
$h_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Bezugshöhe (Meereshöhe = 0 m)

Den Temperatur-Gradienten und die Referenzwerte können aus der Tabelle weiter unten auf der Seite herausgelesen werden.

Luftdruck

Bei den Formeln für Luftdruck und Luftdichte muss zwischen zwei Fällen unterschieden werden. In Luftschichten mit konstanter Temperatur (isotherm) gilt eine andere Formel als in Schichten mit linearem Temperaturverlauf. [1] [2]:

Linearer Temperaturverlauf

Ab Meereshöhe h_ref = 0 m bis auf eine Höhe von h = 11 km ist der Temperaturverlauf annähernd linear. Die Formel für den Luftdruck, wenn die Temperatur sich linear mit der Höhe ändert, lautet:

(3)

$p = p_\mathrm{ref}\, \left( {T_\mathrm{ref} + \alpha \cdot (h - h_\mathrm{ref}) \over T_\mathrm{ref}} \right) ^ {-\beta} = p_\mathrm{ref}\, \left( 1 + {\alpha \cdot (h - h_\mathrm{ref}) \over T_\mathrm{ref}} \right) ^ {-\beta}$

mit

$\beta = {M \cdot g \over R \cdot \alpha} = { g \over R_\mathrm{S} \cdot \alpha}$

wobei^'

$p$ ^'	=^'	^'statischer Druck in der Höhe h in N/m²
$p_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'statischer Druck auf der Referenzhöhe h_ref. Für h_ref = 0 m (Meereshöhe) ist p_ref = 101 325 N/m² bzw. Pa
$T_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Temperatur auf der Referenzhöhe h_ref. Für h_ref = 0 m (Meereshöhe) ist T_ref = 288,15 K (15 °C)
$\alpha$ ^'	=^'	^'Temperatur-Gradient = −0,0065 K/m
$h$ ^'	=^'	^'Höhe über Meer in Metern von 0 m bis 11 000 m
$h_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Referenzhöhe. Für Meereshöhe ist h_ref = 0 m
$M$ ^'	=^'	^'molare Masse (Masse pro Mol); trockene Luft = 28,9644 g/mol
$g$ ^'	=^'	^'Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe = 9,806 65 m/s²
$R$ ^'	=^'	^'universelle Gaskonstante = 8,314 46 J/(mol·K)
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/(kg·K)

Setzt man die Referenzhöhe auf Meereshöhe h_ref = 0 m und nimmt für die dortige Atmosphäre einen mittleren Zustand an, wie er durch die Internationale Standardatmosphäre beschrieben wird (Temperatur T_ref = 15°C = 288,15 K, Luftdruck p_ref = 1013,25 hPa, Temperaturgradient α = −0,0065 K/m), so erhält man die Internationale Höhenformel für die Troposphäre (gültig bis h = 11 km Höhe):

Diese Formel erlaubt die Berechnung des Luftdrucks auf einer gegebenen Höhe, ohne dass Temperatur und Temperaturgradient bekannt sind. Die Genauigkeit im konkreten Anwendungsfall ist allerdings begrenzt, da der Berechnung statt des aktuellen Atmosphärenzustands lediglich eine mittlere Atmosphäre zugrunde gelegt wird.

Die Referenzwerte können aus der Tabelle weiter unten auf der Seite abgelesen werden.

Isotherm

Ab einer Referenzhöhe von h_ref = 11 km bis in eine Höhe von h = 20 km ist die Luft-Temperatur konstant T_ref. Die Formel für den Luftdruck, wenn die Temperatur konstant ist, lautet:

(2)

$p = p_\mathrm{ref} \cdot e^{-(h - h_\mathrm{ref}) / h_\mathrm{s}}$

mit

$h_\mathrm{s} = {R \cdot T_\mathrm{ref} \over M \cdot g} = { R_\mathrm{S} \cdot T_\mathrm{ref} \over g} = {\rm const.}$

wobei^'

$p$ ^'	=^'	^'statischer Druck in der Höhe h in N/m²
$p_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'statischer Druck auf der Referenzhöhe h_ref in N/m²
$h$ ^'	=^'	^'Höhe über Meer in Metern
$h_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Referenzhöhe, ab der die Temperatur konstant bleibt
$R$ ^'	=^'	^'universelle Gaskonstante = 8,314 46 J/(mol·K)
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/(kg·K)
$T_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Temperatur ab der Referenzhöhe h_ref in Kelvin
$M$ ^'	=^'	^'molare Masse (Masse pro Mol); trockene Luft = 28,9644 g/mol
$g$ ^'	=^'	^'Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe = 9,806 65 m/s²

Die Referenzwerte können aus der Tabelle weiter unten auf der Seite abgelesen werden.

Luftdichte

Die Dichte kann nach folgender Formel aus Druck und Temperatur berechnet werden. Da der Druck p(h) vom verwendeten Modell (isotherm (2) oder linearer Temperaturverlauf (3)) abhängig ist, gilt dies auch für die Dichte:

(4)

$\rho(h) = {p(h) \cdot M \over R \cdot T(h)} = {p(h) \over R_\mathrm{S} \cdot T(h)}$

wobei^'

$\rho(h)$ ^'	=^'	^'Dichte in der Höhe h in kg/m³
$p(h)$ ^'	=^'	^'statischer Druck in der Höhe h in N/m²
$M$ ^'	=^'	^'molare Masse (Masse pro Mol); trockene Luft = 28,9644 g/mol
$R$ ^'	=^'	^'universelle Gaskonstante = 8,314 46 J/(mol·K)
$T(h)$ ^'	=^'	^'Temperatur in der Höhe h in Kelvin
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/(kg·K)

Die molare Masse ist generell von der Luftzusammensetzung abhängig, die sich in verschiedenen Höhen ändert. Für Höhen bis 100 km kann die Zusammensetzung jedoch als konstant angenommen werden.

Schichtenmodell

Da im Standardmodell der Atmosphäre zwischen isothermen Höhenschichten und Schichten mit linearem Temperaturverlauf unterschieden wird, gibt es auch zwei Gruppen von entsprechenden Formeln:

Linearer Temperaturverlauf

Isotherm (T = const.)

(5)

$p(h) = p_\mathrm{ref} \left( 1 + {\alpha_i\, (h-h_\mathrm{ref}) \over T_\mathrm{ref}} \right) ^ {-\beta}$

$p(h) = p_\mathrm{ref}\cdot e^{- (h-h_\mathrm{ref}) / h_\mathrm{s} }$

(6)

$\rho(h) = \rho_\mathrm{ref} \left( 1 + {\alpha_i\, (h-h_\mathrm{ref}) \over T_\mathrm{ref}} \right) ^ {-\beta - 1}$

$\rho(h) = \rho_\mathrm{ref} \cdot e ^ {-(h-h_\mathrm{ref}) / h_\mathrm{s}}$

mit

$\beta = {g \over R_\mathrm{S} \cdot \alpha_i}$

$h_\mathrm{s} = {R_\mathrm{S} \cdot T_\mathrm{ref} \over g}$

(7)

$T(h) = T_\mathrm{ref} + \alpha_i\, (h - h_\mathrm{ref})$

$T(h) = T_\mathrm{ref} = {\rm const.}$

wobei^'

$p(h)$ ^'	=^'	^'statischer Druck in der Höhe h in N/m²
$p_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'statischer Druck auf Referenzhöhe h_ref in N/m²
$\rho(h)$ ^'	=^'	^'Dichte in der Höhe h in kg/m³
$\rho_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Dichte auf Referenzhöhe h_ref in kg/m³
$h$ ^'	=^'	^'Höhe über Meer in Metern
$h_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Referenzhöhe in Metern
$T_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Referenz-Temperatur in Kelvin
$\alpha_i$ ^'	=^'	^'Temperatur-Gradient der Schicht i in K/m
$g$ ^'	=^'	^'Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe = 9,806 65 m/s²
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/(kg·K)

Anwendung

Um den statischen Luftdruck, die Luftdichte oder die Temperatur der Luft in einer bestimmten Höhe nach dem Standardmodell zu bestimmten, geht man folgendermassen vor:

Suche in der Tabelle unten die zur Höhe passende Höhenschicht
Verwende nur Werte aus der passenden Zeile der Tabelle!
Schaue bei der Spalte α_i, ob diese Höhenschicht isotherm ist oder nicht
Verwende nur die Formeln der entsprechenden Spalte oben (isotherm oder linearer Temperaturverlauf)
Setze in den obigen Formeln die Referenzwerte der passenden Zeile der Tabelle unten ein und berechne damit Druck, Dichte und Temperatur

Für Berechnungen kannst du das Rechenformular dieser Seite verwenden.

Referenzwerte

Für die Luftschichten des Standardmodells ergeben sich die folgenden Referenzwerte:

i	Höhenschicht [m]	h_ref [m]	α_i [K/m]	T_ref [K]	ρ_ref [g/m³]	p_ref [Pa]
0	0 - 11 000	0	−0,0065	288,15	1225,00	101 325
1	11 000 - 20 000	11 000	0,0	216,65	363,918	22 632,1
2	20 000 - 32 000	20 000	0,001	216,65	88,0348	5474,89
3	32 000 - 47 000	32 000	0,0028	228,65	13,2250	868,019
4	47 000 - 51 000	47 000	0,0	270,65	1,427 53	110,906
5	51 000 - 71 000	51 000	−0,0028	270,65	0,861 605	66,9389
6	71 000 - 84 852	71 000	−0,0020	214,65	0,064 2110	3,956 42

Obige Tabelle entspricht der Tabelle der Seite Standardatmosphäre.

Rechenformular

Das folgende Rechenformular funktioniert bis in eine Höhe von h ≤ 84 852 m mit einer Genauigkeit von 5 Stellen. Die Werte werden mit den Formeln dieser Seite berechnet, d.h. es wird mit dem Schichtenmodell gerechnet.

Das Script zum Rechenformular findest du hier.