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Berechnung des Auftriebs

Die Berechnung des Auftriebs über mathematische Modelle eines Flügels ist extrem komplex. Die ganze Komplexität kann jedoch im Auftriebsbeiwert c_L (engl: Lift Coefficient) zusammengefasst werden. Der Auftriebsbeiwert kann auch über Modelle im Windkanal ermittelt werden. Der Auftriebsbeiwert ist vom Anstellwinkel α (engl: Angle of Attack, AoA) und von der Konfiguration (Flaps, Spoiler) abhängig.

Bei bekanntem Auftriebsbeiwert c_L kann der Auftrieb nach folgender Formel berechnet werden:

(1)

$F_\mathrm{L} = {1 \over 2} \cdot \rho \cdot v^2 \cdot c_\mathrm{L} \cdot A = q \cdot c_\mathrm{L} \cdot A$

wobei^'

$F_\mathrm{L}$ ^'	=^'	^'Auftriebskraft
$\rho$ ^'	=^'	^'Luftdichte = f(T,p)
$v$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit (True Airspeed, TAS) = Groundspeed + Gegenwind
$c_\mathrm{L}$ ^'	=^'	^'Auftriebsbeiwert = f(AoA,Konfig)
$A$ ^'	=^'	^'Flügelfläche = 122,6 m² für einen A320
$q$ ^'	=^'	^'Staudruck, dynamischer Druck (engl: Dynamic Pressure)

Diese Formel gilt für ideale Gase. Luft kann in bestimmten Grenzen als ideales Gas betrachtet werden.

Bei Rückenwind kann v negativ werden, wenn die Groundspeed kleiner als die Windgeschwindigkeit ist. Der Auftriebsbeiwert ist nur für positive Geschwindigkeiten definiert. Wenn der Flügel von hinten angeströmt wird, erzeugt er in Landekonfiguration sicherlich eher Abtrieb als Auftrieb. Ich rechne in diesem Fall einfach mit dem negativen c_L Wert.

Auftriebsbeiwert und Luftdichte sind ihrerseits von diversen Parametern abhängig und werden im Folgenden berechnet:

Berechnung des Auftriebsbeiwertes

c_L in Abhängigkeit von Anstellwinkel und Flaps

Der Auftriebsbeiwert c_L ist eine dimensionslose Zahl. Er ist abhängig vom Anstellwinkel, Stellung der Landeklappen und der Spoiler. Leider findet man im Internet kaum konkrete Daten zum Auftriebsbeiwert. Ich habe daher diesen Wert durch Messungen im MS-Flugsimulator ermittelt.

Durch Recherchen habe ich gefunden, dass der Auftriebsbeiwert im erlaubten Flugbereich bei praktisch allen Verkehrsflugzeugen durch eine Gerade angenähert werden kann:

(2)

$c_\mathrm{L}(\alpha) = c_{\mathrm{L}\alpha} \cdot \alpha + c_\mathrm{L0}$

wobei^'

$c_\mathrm{L}$ ^'	=^'	^'Auftriebsbeiwert
$\alpha$ ^'	=^'	^'Anstellwinkel in Radiant (Grad · π / 180°)
$c_{\mathrm{L}\alpha}$ ^'	=^'	^'Steigung der c_L Kurve
$c_\mathrm{L0}$ ^'	=^'	^'c_L Wert für α = 0

Für einen A320 mit Flaps 0 habe ich im Web Werte im Bereich von c_L = 0,4 bis 0,46 gefunden. Ich wähle die Mitte c_L = 0,43 für einen typischen Anstellwinkel im Flug von 2,5 Grad. Damit erhalte ich die Werte der folgenden Tabelle. Zum Vergleich sind entsprechende Werte eines Jumbo-Jets und eines A330 aufgeführt:

Flugzeug	c_Lα	c_L0
A320	5,16	0,2
A330	6,3	0,3
Boeing 747	5,5	0,29

Einfluss der Flaps auf den Auftrieb

Durch Einsatz der Flaps wird die c_L Kurve parallel angehoben. Laut Frank Tinapp liegt die Steigerung des maximal erreichbaren Auftriebsbeiwertes bei etwa 200 % bezogen auf das Grundprofil ohne Auftriebshilfen [1]. Dies kann ich durch Messen der entsprechenden Kurven am MS-Flugsimulator bei einem A330 bestätigen. Bei einem AoA von 10 Grad ist der c_L Wert mit Flaps Full doppelt so gross wie ohne Flaps.

Ich steuere den Flaps-Anteil über die Variable FlapsExtend, welche einen Wert von 0 für Flaps Up und einen Wert von 1 für Flaps Full hat. Die Parallelverschiebung der c_L Kurve erreiche ich durch einen entsprechenden Term (blau):

(3)

$c_\mathrm{L} = c_{\mathrm{L}\alpha} \cdot \alpha + c_\mathrm{L0} + \color{blue}{c_{\mathrm{L}\beta} \cdot \beta}$

wobei^'

$\beta$ ^'

=^'

^'FlapsExtend 0..1

Flugzeug	c_Lβ
A320	1,12
A330	1,4

Flugzeug

c_Lβ

A320

1,12

A330

1,4

Werte von FlapsExtend β für verschiedene Flaps-Konfigurationen eines A330 (A320):

Flaps	up	1	2	3	full
β	0,00	0,35	0,57	0,71	1,00

Einfluss der Spoiler auf den Auftrieb

Durch Ausfahren der Spoiler ändert sich der Auftriebsbeiwert c_L analog wie beim Ausfahren der Flaps, jedoch mit negativem Vorzeichen. Das heisst, der Auftriebsbeiwert wird durch Ausfahren der Spoiler verringert.

Dies ergibt folgende Formel für c_L, wobei der Spoiler-Einfluss blau markiert ist:

(4)

$c_\mathrm{L} = c_{\mathrm{L}\alpha} \cdot \alpha + c_\mathrm{L0} + \color{blue}{c_{\mathrm{L}\gamma} \cdot \gamma}$

wobei^'

$\gamma$ ^'

=^'

^'SpoilerExtend 0..1

Leider habe ich keine konkreten Werte für c_Lγ für einen A320 im Web finden können. Aus Angaben für eine Boeing 747 (siehe Tabelle) und Messungen im FS-Flugsimulator an einem A330 habe ich einen Wert für c_Lγ abgeschätzt.

Der Auftriebsbeiwert verringert sich also durch das Ausfahren der Spoiler von 0,86 auf 0,31, also c_Lγ = −0,55 für eine 747.

Einfluss der Spoiler bei einer Boeing 747 [2]:

Spoiler (Flaps Full)	c_L
20 %	0,75
40 %	0,64
60 %	0,53
80 %	0,42

Beim A330 verringerte sich der Auftriebsbeiwert im Flug beim Ausfahren der Spoiler um ca. −0,1. Bei aktiviertem Autopilot werden 2 Spoiler um 25 Grad und einer um 12,5 Grad je Flügel ausgefahren. Beim Bremsen am Boden werden je 5 Spoiler um ca. 50 Grad (Gemessen auf Foto) ausgefahren. Dies ergibt eine geschätzte Auftriebsverminderung von c_Lγ = −0,36.

Auftriebsbeiwerte für verschiedene Konfigurationen

Fassen wir die Formeln für den Auftriebsbeiwert für verschiedene Konfigurationen zusammen, so gilt für einen A320:

(5)

$c_\mathrm{L} = c_{\mathrm{L}\alpha} \cdot \alpha + c_\mathrm{L0} + c_{\mathrm{L}\beta} \cdot \beta + c_{\mathrm{L}\gamma} \cdot \gamma$

wobei^'

$\alpha$ ^'	=^'	^'Anstellwinkel in Radiant
$\beta$ ^'	=^'	^'Flaps-Extend 0..1
$\gamma$ ^'	=^'	^'Spoiler-Extend 0..1
$c_{\mathrm{L}\alpha}$ ^'	=^'	^'5,16
$c_\mathrm{L0}$ ^'	=^'	^'0,2
$c_{\mathrm{L}\beta}$ ^'	=^'	^'1,12
$c_{\mathrm{L}\gamma}$ ^'	=^'	^'−0,36

Berechnung des Auftriebsmomentes

Die Summe aller Kräfte an einem Flügel können zu einer einzigen Kraft addiert werden, welche im Auftriebszentrum (engl: Center of Lift, CL) angreift. Diese Kraft wird aus praktischen Gründen in eine Komponente senkrecht zur anströmenden Luft (Lift) und eine Komponente parallel dazu (Drag) aufgeteilt. Der CL-Punkt wandert in abhängigkeit der Geschwindigkeit und des Anstellwinkels.

Es ist nicht sehr praktisch, wenn man mit einem wandernden Punkt Berechnungen anstellen muss. Über einen Trick kann man einen beliebigen fixen Punkt auf dem Flügel wählen. Dieser wird aerodynamisches Zentrum (engl: Aerodynamic Center, AC) genannt. Wir ein solcher Fixpunkt gewählt, drückt sich das Wandern des CL in einem zusätzlichen Moment um den AC Punkt aus. Dieses Auftriebsmoment M_L ist im Allgemeinen vom Anstellwinkel abhängig. Es gibt jedoch einen ausgezeichneten Punkt auf der Flügelsehne, bei dem das Momement nicht oder nur sehr wenig vom Anstellwinkel abhängig ist. Dieser Punkt wird in der Regel als aerodynamisches Zentrum AC gewählt.

Das Moment ist weiterhin von der Geschwindigkeit abhängig und kann nach der folgenden Formel berechnet werden:

(6)

$M_\mathrm{L} = { 1 \over 2 } \cdot \rho \cdot v^2 \cdot c_\mathrm{M} \cdot A \cdot s$

wobei^'

$M_\mathrm{L}$ ^'	=^'	^'Auftriebsmoment um das aerodynamische Zentrum AC
$\rho$ ^'	=^'	^'Luftdichte
$v$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit des Flugzeugs
$c_\mathrm{M}$ ^'	=^'	^'Momentenbeiwert = −0,5
$A$ ^'	=^'	^'Flügelfläche
$s$ ^'	=^'	^'mittlere Sehnenlänge des Flügels (MAC)

Den Momentenbeiwert habe ich auf −0,5 gesetzt [3]

Berechnung der Trimmkraft

Da die verschiedenen Kräfte wie Gewichtskraft F_S, Schub F_J, Luftwiderstand F_D und Auftrieb F_L nicht an ein und demselben Punkt am Flugzeug angreifen, entstehen Drehmomente, welche das Flugzeugs um die Querachse rotieren wollen. Mit dem trimmbaren Höhenleitwerk (engl: Trimmable Horizontal Stabilizer, THS) kann diese Tendenz ausgetrimmt werden. Der THS erzeugt eine Trimmkraft F_T, welche das Drehmoment im stabilden Flug aufhebt.

Das Berechnen der Trimmkraft im Anflug und beim Flare ist ziemlich kompliziert. Die Trimmkraft hat aber nur einen unbedeutenden Einfluss auf den Bremsweg. Daher vereinfache ich die Berechnungen wiefolgt:

Schub und Luftwiderstand erzeugen kein Drehmoment und das Moment des Flügels wird ignoriert (diese Momente heben sich in etwa auf).
Berechnung der Trimmkraft für einen stabilen horizontalen Flug mit Anfluggeschwindigkeit v_app.
Berechnung eines Trimmbeiwertes c_T aus der Trimmkraft.
Der Trimmbeiwert bleibt nach der Landung konstant, nimmt ab Spoiler-Extend in 5 s auf Null ab (Trimmung wird bei der Landung neutralisiert).

Alle Kräfte und Momente am Flugzeug beim Rollen

Im stabilen Flug ist die Summe aller Kräfte in Z-Richtung gleich Null:

(7)	$F_\mathrm{L} - F_\mathrm{S} - F_\mathrm{T} = 0 \qquad\Rightarrow\qquad F_\mathrm{L} = F_\mathrm{S} + F_\mathrm{T}$

Die Summe der Momente ist ebenfalls Null. Daraus lässt sich die Trimmkraft berechnen:

(8)	$F_\mathrm{L} \cdot x_\mathrm{L} - F_\mathrm{T} \cdot x_\mathrm{T} = 0$

Wenn ich F_L von (7) in (8) einsetze erhalte ich:

(9)	$(F_\mathrm{S} + F_\mathrm{T}) \cdot x_\mathrm{L} - F_\mathrm{T} \cdot x_\mathrm{T} = F_\mathrm{S} \cdot x_\mathrm{L} + F_\mathrm{T} \cdot (x_\mathrm{L} - x_\mathrm{T}) = 0$

Dies kann ich nach F_T auflösen:

(10)	$F_\mathrm{T} = { F_\mathrm{S} \cdot x_\mathrm{L} \over x_\mathrm{T} - x_\mathrm{L} } = F_{\mathrm{T},\mathrm{app}}$

Diese Trimmkraft F_T,app gilt nur im Anflug vor dem Aufsetzen. Am Boden ändert sich die Geschwindigkeit und damit die Trimmkraft. Diese berechne ich, indem ich aus der Trimmkraft F_T,app über die Auftriebsformel einen Trimmfaktor k_T,app berechne:

(11)	$F_\mathrm{T} = {1 \over 2} \cdot c_\mathrm{T} \cdot \rho \cdot A_\mathrm{T} \cdot v^2$

Die unveränderlichen Werte ρ, c_T und A_T fasse ich zum Trimfaktor k_T zusammen:

(12)	$k_\mathrm{T} = { 1 \over 2 } \cdot c_\mathrm{T} \cdot \rho \cdot A_\mathrm{T}$

Damit Lautet die Auftriebsformel für den THS:

(13)	$F_\mathrm{T} = k_\mathrm{T} \cdot v^2 \qquad\Rightarrow\qquad k_\mathrm{T} = {F_\mathrm{T} \over v^2 }$

Der Trimmfaktor vor der Landung k_T,app berechnet sich damit:

(14)

$k_{\mathrm{T},\mathrm{app}} = { F_{\mathrm{T},\mathrm{app}} \over (v_\mathrm{app})^2 } = { F_\mathrm{S} \cdot x_\mathrm{L} \over (x_\mathrm{T} - x_\mathrm{L}) \cdot (v_\mathrm{app})^2 }$

Und die Trimmkraft am Boden bei beliebiger Geschwindigkeit:

(15)

$F_\mathrm{T}(v) = k_{\mathrm{T},\mathrm{app}} \cdot v^2 = { F_\mathrm{S} \cdot x_\mathrm{L} \over (x_\mathrm{T} - x_\mathrm{L}) \cdot (v_\mathrm{app})^2 } \cdot v^2$

wobei^'

$F_\mathrm{T}(v)$ ^'	=^'	^'Trimmkraft am Boden bei der Geschwindigkeit v
$k_{\mathrm{T},\mathrm{app}}$ ^'	=^'	^'Trimmfaktor in Anflug
$v$ ^'	=^'	^'aktuelle Geschwindigkeit
$v_\mathrm{app}$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit beim Anflug
$F_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'Gewichtskraft des Flugzeugs = m · g
$x_?$ ^'	=^'	^'Flugzeug-Geometrie

Die Trimmung wird während dem Bremsen vom Flugzeug automatisch in Richtung Neutralstellung gebracht. In der Brems-Simulation wird dies ebenfalls simuliert, indem beim Triggern der Spoiler der Trimmfaktor k_T in 5 Sekunden in einem linearen Verlauf auf Null gefahren wird.

Berechnung der Luftdichte

Für die Berechnung des Auftriebs F_L und des Luftwiderstandes F_D brauchen wir die Luftdichte. Die Luftdichte ρ (rho) ist Abhängig von der Temperatur T und dem Luftdruck p. Luftdruck und Temperatur sind zudem abhängig von der Höhe über Meer h und vom Wetter (Luftfeuchtigkeit usw.).

In der Luftfahrt kann man den Luftdruck als QNH vom Tower oder Wetterdienst (ATIS) für eine bestimmte Gegend oder den Zielflugplatz abfragen. QNH gibt den Wetter-bedingten Luftdruck an, wie er am gefragten Ort herrschen würde, wenn der Ort auf Meereshöhe läge. Dieser Wert wird am Höhenmesser im Cockpit eingestellt. Der Höhenmesser misst eigentlich den aktuellen Luftdruck in der Umgebung des Flugzeugs. Ein mittels QNH geeichter Höhenmesser zeigt aber die Höhe des Flugzeugs über Meer an.

Wir kennen also den QNH (Luftdruck auf Meereshöhe), unsere Höhe h über Meer und die Temperatur T. Aus diesen Werten und einigen Naturkonstanten lässt sich die Luftdichte ρ berechnen:

(16)

$\rho(h) = \rho_0 \cdot \left( 1 - { a \cdot h \over T_0 } \right)^{{M \cdot g \over R \cdot a} - 1}$

wobei^'

$M$ ^'	=^'	^'molare Masse der Luft = 0,028 96 kg/mol
$g$ ^'	=^'	^'Gravitationskonstante = 9,807 m/s²
$R$ ^'	=^'	^'universelle Gaskonstante = 8,314 J/(K·mol)
$a$ ^'	=^'	^'vertikaler Temperaturgradient bis max. 11 km Höhe = 0,0065 K/m
$T_0$ ^'	=^'	^'Temperatur auf Meereshöhe in Kelvin
$\rho_0$ ^'	=^'	^'Luftdichte auf Meereshöhe in kg/m³

Im Allgemeinen ist die Temperatur nicht konstant, sondern variiert mit der Höhe. Der einfachste Ansatz zur Berücksichtigung einer solchen Veränderlichkeit geht von einer linearen Abnahme mit der Höhe aus. Für die Temperatur T(h) gilt also:

(17)	$T(h) = T_0 - a \cdot h$

Der Temperaturgradient a gibt also an, um wie viele Kelvin die Lufttemperatur pro Meter Höhenunterschied abnimmt. Dieser Wert stimmt nur näherungsweise bis in eine Höhe von ca. 11 km, was für unsere Zwecke reicht. Aus obiger Formel können wir nun T₀ berechnen, wenn unsere Höhe über Meer h und die aktuelle Temperatur T bekannt ist:

(18)	$T_0 = T + a \cdot h$

Die Luftdichte auf Meereshöhe ρ₀ können wir nach dem idealen Gasgesetz wiefolgt berechnen:

(19)

$\rho_0 = { p_0 \cdot M \over R \cdot T_0 }$

wobei^'

$p_0$ ^'

=^'

^'Luftdruck auf Meereshöhe = QNH

Damit haben wir alle Werte für die Berechnung der aktuellen Luftdichte beisammen, wenn wir QNH, unsere Höhe über Meer und die aktuelle Temperatur T kennen.