WaBis

walter.bislins.ch

Berechnung des Compressibility Correction Chart

Ein Compressibility Correction Chart wird für die Umrechnung von Calibrated Airspeed (CAS) in die Equivalent Airspeed (EAS) verwendet [1]. EAS ist ein Zwischenschritt in der manuellen Berechnung der True Airspeed (TAS) aus der angezeigten CAS.

Umrechnung CAS → EAS → TAS

Siehe Fluggeschwindigkeit

Die CAS wird durch Messung von Luftdrücken gewonnen und nach einer Kalibrierung als primäre Geschwindigkeit auf dem Airspeed Indicator (ASI) im Cockpit angezeigt. Die Kalibrierung ist derart, dass die Geschwindigkeitsanzeige auf Meereshöhe bei Standardatmosphäre gerade TAS anzeigt. Für andere Höhen und Bedingungen gilt dies jedoch nicht.

Durch Berücksichtigen der Kompressibilität der Luft und der geringeren Luftdichte in der Höhe kann die angezeigte CAS in die True Airspeed (TAS) umgerechnet werden. Im Schritt CAS → EAS wird der Effekt der Kompressibilität der Luft herausgerechnet und im Schritt EAS → TAS wird die geringere Luftdichte in der Flughöhe berücksichtigt.

Die angezeigte Geschwindigkeit CAS ist bei Geschwindigkeiten oberhalb Mach 0,3 und in höheren Flughöhen aufgrund der Kompressibilität der Luft zu hoch verglichen mit der Equivalent Airspeed (EAS), die in einem idealen inkompressiblen Gas angezeigt werden würde. Diese Abweichung wird im Compressibility Correction Chart grafisch dargestellt.

Mathematisches Modell

Den mathematischen Zusammenhang zwischen den verschiedenen Geschwindigkeiten zeigt die folgende Darstellung:

wobei^'

$q$ ^'	=^'	^'dynamischer Druck für idealisierte inkompressible Luft
$q_\mathrm{c}$ ^'	=^'	^'dynamischer Druck für reale kompressible Luft
$TAS$ ^'	=^'	^'True Airspeed (effektive Geschwindigkeit gegenüber Luftmolekülen)
$CAS$ ^'	=^'	^'Calibrated Airspeed (angezeigte kalibrierte Geschwindigkeit)
$EAS$ ^'	=^'	^'Equivalent Airspeed (so würde CAS bei idealer inkompressibler Luft angezeigt)

Beachte: Im oberen Pfad TAS → q_c → CAS wird mit der Form der Bernoulli-Gleichungen für kompressible Fluide gerechnet. Daraus erhalten wir den realen dynamischen Druck q_c. Für den unteren Pfad TAS → q → EAS wird mit vereinfachten Gleichungen für inkompressible Fluide gerechnet, welche nur für Geschwindigkeiten unterhalb Mach 0,3 annähernd denselben Wert wie CAS liefern.

Da die CAS auf Meereshöhe bei Standardatmosphäre so kalibriert wird, dass gerade TAS angezeigt wird, folgt, dass QCV, also die Umrechnung von q_c zu CAS, gerade die Umkehrfunktion von VQC sein muss, jedoch für die Höhe h = 0. Analoges gilt für EAS.

Für die Berechnung des Chart brauchen wir EAS−CAS = f(CAS,h). Praktischer ist jedoch eine parametrische Darstellung: X = CAS = f(TAS,h) und Y = EAS−CAS = f(TAS,h). TAS können wir dann von 0 bis Mach 1 laufen lassen und die so berechneten X-Y-Koordinaten-Paaren zu Kurven verbinden, jeweils für ein bestimmtes h.

Wir kommen somit mit 2 Grundformeln und deren Umkehrfunktionen aus:

q = VQ(v,h): Berechnung des dynamisches Drucks q, für inkompressible Fluide → (4)
v = QV(q,h): Umkehrfunktion von VQ → (5)
q_c = VQC(v,h): Berechnung des dynamischen Drucks q_c, berücksichtigt die Kompressibilität der Luft → (6)
v = QCV(q_c,h): Umkehrfunktion von VQC → (7)

Die Formeln mit dem Index 0 werden mit Höhe h = 0 verwendet. Für das Chart ergeben sich somit folgende Formeln:

(1)

$CAS = \mathbf{QCV}_0( \mathbf{VQC}( TAS, h ) )$

(2)

$EAS = \mathbf{QV}_0( \mathbf{VQ}(TAS,h) )$

(3)

$V_\mathrm{C} = EAS - CAS$

wobei^'

$h$ ^'	=^'	^'Flughöhe
$TAS$ ^'	=^'	^'True Airspeed
$CAS$ ^'	=^'	^'Calibrated Airspeed (X-Achse des Chart)
$EAS$ ^'	=^'	^'Equivalent Airspeed
$V_\mathrm{C}$ ^'	=^'	^'Korrekturwert CAS → EAS (Y-Achse des Chart)

Gasgleichungen

Für inkompressible Gase gelten die einfachen Formeln:

(4)

$q = \mathbf{VQ}(v,h) = {1 \over 2} \cdot \rho(h) \cdot v^2$

wobei^'

$q$ ^'	=^'	^'dynamischer Druck
$v$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit (TAS)
$h$ ^'	=^'	^'Höhe über Meer
$\rho(h)$ ^'	=^'	^'Luftdichte in der Höhe h → (9)

Und die Umkehrfunktion ist:

(5)

$v = \mathbf{QV}(q,h) = \sqrt{ 2 \cdot q \over \rho(h) }$

wobei^'

$v$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit (TAS)
$q$ ^'	=^'	^'dynamischer Druck
$h$ ^'	=^'	^'Höhe über Meer
$\rho(h)$ ^'	=^'	^'Luftdichte in der Höhe h → (9)

Für kompressible Gase gilt [2]:

(6)

$q_\mathrm{c} = \mathbf{VQC}(v,h) = p_\mathrm{s}(h) \cdot \left[ \left( { (\kappa-1) \cdot \rho(h) \over 2 \cdot \kappa \cdot p_\mathrm{s}(h) } \cdot v^2 + 1 \right) ^ {\kappa / (\kappa - 1)} - 1 \right]$

wobei^'

$q_\mathrm{c}$ ^'	=^'	^'dynamischer Druck in kompressiblen Gasen (c = compressible)
$v$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit (TAS)
$h$ ^'	=^'	^'Höhe über Meer
$p_\mathrm{s}(h)$ ^'	=^'	^'statischer Luftdruck in der Höhe h → (8)
$\rho(h)$ ^'	=^'	^'Luftdichte in der Höhe h → (9)
$\kappa$ ^'	=^'	^'Adiabatenexponent (kappa), für Luft ist κ = 1,4

Und die Umkehrfunktion ist:

(7)

$v = \mathbf{QCV}(q_\mathrm{c},h) = \sqrt{ { 2\cdot\kappa\cdot p_\mathrm{s}(h) \over (\kappa-1)\cdot\rho(h)} \cdot \left[ \left( { q_\mathrm{c} \over p_\mathrm{s}(h) } + 1 \right) ^ {(\kappa-1)/\kappa} - 1 \right] }$

wobei^'

$v$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit (TAS)
$q_\mathrm{c}$ ^'	=^'	^'dynamischer Druck in kompressiblen Gasen (c = compressible)
$h$ ^'	=^'	^'Höhe über Meer
$p_\mathrm{s}(h)$ ^'	=^'	^'statischer Luftdruck in der Höhe h → (8)
$\rho(h)$ ^'	=^'	^'Luftdichte in der Höhe h → (9)
$\kappa$ ^'	=^'	^'Adiabatenexponent (kappa), für Luft ist κ = 1,4

Barometrische Höhenformeln

In den Gasgleichungen werden die Luftdichte ρ und der statische Druck p_s in der Flughöhe h benötigt. Diese werden mit Hilfe der erweiterten barometrischen Höhenformel berechnet. Diese erweiterte barometrische Höhenformel bildet die Grundlage für die barometrische Höhenfunktion der Standardatmosphäre in der Luftfahrt [3]. Dabei wird die Atmosphäre in Teilschichten mit jeweils linear interpoliertem Temperaturverlauf unterteilt. Für die untersten 11 km der Troposphäre gilt der Temperaturgradient von α = −0,0065 K/m. Für höhere Schichten muss der Gradient angepasst werden.

Linearer Temperaturverlauf

Isotherm (T = const.)

(8)

$p_\mathrm{s}(h) = p_\mathrm{ref} \cdot \left( 1 + {\alpha_i \cdot (h-h_\mathrm{ref}) \over T_\mathrm{ref}} \right) ^ {-\beta}$

$p_\mathrm{s}(h) = p_\mathrm{ref}\cdot e^{- (h-h_\mathrm{ref}) / h_\mathrm{s} }$

(9)

$\rho(h) = \rho_\mathrm{ref}\cdot\left( 1 + {\alpha_i\cdot (h-h_\mathrm{ref}) \over T_\mathrm{ref}} \right) ^ {-\beta - 1}$

$\rho(h) = \rho_\mathrm{ref} \cdot e ^ {-(h-h_\mathrm{ref}) / h_\mathrm{s}}$

mit

$\beta = {g \over R_\mathrm{S} \cdot \alpha_i}$

$h_\mathrm{s} = {R_\mathrm{S} \cdot T_\mathrm{ref} \over g}$

wobei^'

$p_\mathrm{s}(h)$ ^'	=^'	^'statischer Druck in der Höhe h in N/m²
$p_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'statischer Druck auf Referenzhöhe h_ref in N/m²
$\rho(h)$ ^'	=^'	^'Dichte in der Höhe h in kg/m³
$\rho_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Dichte auf Referenzhöhe h_ref in kg/m³
$h$ ^'	=^'	^'Höhe über Meer in Metern
$h_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Referenzhöhe in Metern
$T_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Referenz-Temperatur in Kelvin
$\alpha_i$ ^'	=^'	^'Temperatur-Gradient der Schicht i in K/m
$g$ ^'	=^'	^'Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe = 9,806 65 m/s²
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/kg/K

Je nach Flughöhe h müssen die Werte α_i, h_ref, T_ref, ρ_ref und p_ref aus folgender Tabelle entnommen werden. Da wir uns auf Höhen bis maximal 20 km = 60 000 ft beschränken, genügen zwei Bereiche für h:

i	Höhenschicht	h_ref [m]	α_i [K/m]	T_ref [K]	ρ_ref [kg/m³]	p_ref [Pa]
0	0 - 11 000	0	−0,006 5	288,15	1,225	101 325
1	11 000 - 20 000	11 000	0,0 isotherm	216,65	0,364	22 632

Chart zeichnen

V_C liegt als Funktion von TAS und h vor. Wir möchten die Graphen jedoch als Funktion von CAS zeichnen. Dazu lässt man für verschiedene Höhen h einen Mach-Parameter von 0-1 laufen, rechnet ihn in TAS um und berechnet daraus für die X-Achse den CAS-Wert (CAS = f(TAS,h)) und für die Y-Achse den V_C-Wert (V_C = f(TAS,h)) und erhält daraus folgendes Bild:

Für die Umrechnung des Mach-Parameters in die TAS gilt:

(10)

$TAS = Ma \cdot a = Ma \cdot \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{S} \cdot \big( T_\mathrm{ref} + \alpha_i \cdot (h-h_\mathrm{ref})\big) }$

wobei^'

$TAS$ ^'	=^'	^'f(Ma,h) = True Airspeed
$Ma$ ^'	=^'	^'Mach-Parameter (0..1)
$a$ ^'	=^'	^'Schallgeschwindigkeit
$h$ ^'	=^'	^'Flughöhe
$h_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Referenzhöhe
$T_\mathrm{ref}$ ^'	=^'	^'Temperatur auf Referenzhöhe
$\alpha_i$ ^'	=^'	^'Temperaturgradient i je nach Höhe (siehe Tabelle unter Barometrische Höhenformeln)
$\kappa$ ^'	=^'	^'Adiabatenexponent (kappa), für Luft ist κ = 1,4
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante, für trockene Luft = 287,058 J/K/kg

Im Chart werden die in der Luftfahrt gebräuchlicheren Einheiten Fuss [ft] für Höhenangaben und Knoten [kt] für Geschwindigkeitsangaben verwendet. Daher müssen die in den Formeln verwendeten SI-Einheiten entsprechend umgerechnet werden.