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Massendurchsatz eines Triebwerks - Herleitung

Der Massendurchsatz oder Massenstrom ist die Menge an Luft, die pro Zeiteinheit durch das Triebwerk geschaufelt wird.

Die Erhaltung der Masse ist ein fundamentales Gesetzt der Physik. Innerhalb eines Gebildes wie einem Triebwerk wird Masse weder erzeugt noch vernichtet.

Der Massendurchsatz kann mit folgender Formel berechnet werden:

(1)

$\dot m = { A \, p_\mathrm{t} \over \sqrt{ T_\mathrm{t} } } \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} } } \, M \, { \left[ 1 + { \kappa - 1 \over 2 } \, { M }^2 \right] }^{ -( \kappa + 1 ) / [2 \, ( \kappa - 1 ) ]}$

wobei^'

$\dot m$ ^'	=^'	^'Massendurchsatz (Masse pro Sekunde)
$A$ ^'	=^'	^'Querschnitts-Fläche des Triebwerks
$p_\mathrm{t}$ ^'	=^'	^'Totaler Druck (statischer Druck plus dynamischer Druck)
$T_\mathrm{t}$ ^'	=^'	^'Totale Temperatur (Umgebungstemperatur plus Zuschlag vom dynamischen Druck) in K
$M$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit in Mach (Mach 1 = Schallgeschwindigkeit)
$\kappa$ ^'	=^'	^'Adiabatenexponent, für Luft 1,4 = 7/5
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante für trockene Luft = 287,058 J/kg/K

Maximaler Massendurchsatz

Der Massendurchsatz ist maximal bei M = Mach 1. In diesem Fall ist der Fluss unterbrochen (chocked). Mit M = 1 wird (1) zu:

(2)

$\dot m_\mathrm{max} = { A \, p_\mathrm{t} \over \sqrt{ T_\mathrm{t} } } \, \sqrt{ { \kappa \over R } } \, { \left[ { \kappa + 1 \over 2 } \, \right] }^{ -( \kappa + 1 ) / [2 \, ( \kappa - 1 ) ]}$

wobei^'

$\dot m_\mathrm{max}$ ^'	=^'	^'Maximaler Massendurchsatz bei Mach 1
$A$ ^'	=^'	^'Querschnitts-Fläche des Triebwerks
$p_\mathrm{t}$ ^'	=^'	^'Totaler Druck (statischer Druck plus dynamischer Druck)
$T_\mathrm{t}$ ^'	=^'	^'Totale Temperatur (Umgebungstemperatur plus Zuschlag vom dynamischen Druck) in K
$\kappa$ ^'	=^'	^'Adiabatenexponent, für Luft 1,4 = 7/5
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante für trockene Luft = 287,058 J/kg/K

Herleitung

Die Masse eines Objektes ist sein Volumen mal seine Dichte. Für Luft (oder eine Flüssigkeit) können sich Dichte, Volumen und Form innerhalb des Triebwerks zeitlich verändern und die Luft kann durch das Triebwerk fliessen.

Die Erhaltung der Masse besagt, dass die Fliessrate $\dot m$ durch eine Röhre konstant ist und nach folgender Formel berechnet werden kann:

(3)

$\dot m = \rho \, A \, v$

wobei^'

$\dot m$ ^'	=^'	^'Massendurchsatz (Masse pro Sekunde)
$\rho$ ^'	=^'	^'Luftdichte
$A$ ^'	=^'	^'Querschnitts-Fläche der Röhre
$v$ ^'	=^'	^'Geschwdingkeit der Luft

Wenn wir von einem konstanten Querschnitt A und einer fixen Luftdichte ρ ausgehen, scheint nach Formel (3) der Massendurchsatz beliebig gross werden zu können, indem einfach die Geschwindigkeit v entsprechend erhöht wird. In realen Gasen bleibt die Dichte jedoch nicht konstant, sondern sie erhöht sich mit grösser werdender Geschwindigkeit aufgrund der Kompressibilität. Wir müssen die Dichteänderung berücksichtigen, um den Massendurchsatz bei höheren Geschwindigkeiten zu erhalten.

Wenn wir von Formel (3) ausgehen und die Relationen für isotropen Fluss und die Zustandsgleichung von Gasen anwenden, können wir eine Formel für den Massendurchsatz für kompressible Gase entwickeln.

Beginnen wir mit der Definition der Mach-Zahl M und der Schallgeschwindigkeit a:

(4)

$v = M \, a = M \, \sqrt{ \kappa \, R_\mathrm{S} \, T }$

wobei^'

$v$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit
$M$ ^'	=^'	^'Mach-Zahl (Geschwindigkeit bezüglich Schallgeschwindigkeit)
$a$ ^'	=^'	^'Schallgeschwindigkeit
$T$ ^'	=^'	^'Temperatur
$\kappa$ ^'	=^'	^'Adiabatenexponent, für Luft 1,4 = 7/5
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante für trockene Luft = 287,058 J/kg/K

Setzen wir (4) in (3) ein, erhalten wir:

(5)	$\dot m = \rho \, A \, \color{blue}{ v } = \rho \, A \, \color{blue}{ M \, \sqrt{ \kappa \, R_\mathrm{S} \, T } }$

Die Luftdichte ρ können wir mithilfe der Zustandsgleichung für Gase auch durch den Druck p und die Temperatur T ausdrücken:

(6)

$\rho = { p \over R_\mathrm{S} \, T }$

wobei^'

$\rho$ ^'	=^'	^'Luftdichte
$p$ ^'	=^'	^'Luftdruck
$T$ ^'	=^'	^'Temperatur
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante

Setzen wir (6) in (5) ein erhalten wir:

(7)	$\dot m = \color{blue}{ \rho } \, A \, M \, \sqrt{ \kappa \, R_\mathrm{S} \, T } = \color{blue}{ { p \over R_\mathrm{S} \, T } } \, A \, M \, \sqrt{ \kappa \, R_\mathrm{S} \, T }$

Fassen wir ein paar Terme zusammen erhalten wir:

(8)	$\dot m = { p \over \color{blue}{ R_\mathrm{S} \, T } } \, A \, M \, \sqrt{ \kappa \, R_\mathrm{S} \, T } = A \, M \, p \, \sqrt{ { \kappa \, R_\mathrm{S} \, T \over \color{blue}{ { R_\mathrm{S} }^2 \, { T }^2 } } } = A \, M \, p \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} \, T } }$

Um die nächste Formel integrieren zu können, stellen wir etwas um, sodass die Wurzel von T separiert wird:

(9)	$\dot m = A \, M \, p \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} \, \color{blue}{ T } } } = A \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} } } \, M \, \color{blue}{ { 1 \over \sqrt{ T } } } \, p$

Die Formel für den Druck p bei isotropem Fluss ist:

(10)

$p = p_\mathrm{t} \, \left[ { T \over T_\mathrm{t} } \right] ^ { \kappa / (\kappa-1) }$

wobei^'

$p$ ^'	=^'	^'statischer Druck
$p_\mathrm{t}$ ^'	=^'	^'Totaler Druck
$T$ ^'	=^'	^'statische Temperatur
$T_\mathrm{t}$ ^'	=^'	^'Totale Temperatur
$\kappa$ ^'	=^'	^'Adiabatenexponent, für Luft 1,4 = 7/5

Setzen wir (10) in (9) ein, erhalten wir:

(11)	$\dot m = A \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} } } \, M \, { 1 \over \sqrt{ T } } \, \color{blue}{ p } = A \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} } } \, M \, { 1 \over \sqrt{ T } } \, \color{blue}{ p_\mathrm{t} \, { \left[ { T \over T_\mathrm{t} } \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) } }$

Damit wir anstelle von √T im Nenner √T_t erhalten, erweitern wir die Formel mit √T_t/√T_t und stellen etwas um:

(12)

$\dot m = A \, p_\mathrm{t} \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} } } \, M \, { 1 \over \sqrt{ T } } \, \color{blue}{ { \sqrt{T_\mathrm{t}} \over \sqrt{T_\mathrm{t}} } } \, { \left[ { T \over T_\mathrm{t} } \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) } = A \, p_\mathrm{t} \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} } } \, M \, { 1 \over \color{blue}{ \sqrt{ T_\mathrm{t} } } } \, \left[ { \color{blue}{ \sqrt{T_\mathrm{t}} } \over \sqrt{T} } \right] \, { \left[ { T \over T_\mathrm{t} } \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) }$

Die Terme in den eckigen Klammern können wir nun zusammenfassen:

(13)

$\left[ { \sqrt{T_\mathrm{t}} \over \sqrt{T} } \right] \cdot { \left[ { T \over T_\mathrm{t} } \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) } = \left[ { T \over T_\mathrm{t}} \right] ^ { -1 / 2 } \cdot { \left[ { T \over T_\mathrm{t} } \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) } = \left[ { T \over T_\mathrm{t}} \right] ^ { -{ 1 \over 2 } + { \kappa \over \kappa-1 } } = \left[ { T \over T_\mathrm{t}} \right] ^ { { \kappa + 1 \over 2 ( \kappa - 1 ) } }$

Damit erhalten wir:

(14)

$\dot m = A \, p_\mathrm{t} \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} } } \, M \, { 1 \over \sqrt{ \color{green}{ T_\mathrm{t} } } } \, \color{blue}{ \left[ { \sqrt{T_\mathrm{t}} \over \sqrt{T} } \right] \, { \left[ { T \over T_\mathrm{t} } \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) } } = A \, p_\mathrm{t} \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} \, \color{green}{ T_\mathrm{t} } } } \, M \, \color{blue}{{ \left[ { T \over T_\mathrm{t} } \right] }^{ ( \kappa + 1 ) / 2 ( \kappa - 1 ) } }$

Eine weitere isotropische Beziehung ist:

(15)

${ T \over T_\mathrm{t} } = { \left[ 1 + { \kappa - 1 \over 2 } \, { M }^2 \right] }^{ -1 }$

Durch Einsetzen von (15) in (14) erhalten wir:

(16)

$\dot m = A \, p_\mathrm{t} \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} \, T_\mathrm{t} } } \, M \, { \left[ { \color{blue}{ T \over T_\mathrm{t} } } \right] }^{ ( \kappa + 1 ) / 2 ( \kappa - 1 ) } = A \, p_\mathrm{t} \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} \, T_\mathrm{t} } } \, M \, { \left[ { \color{blue}{ { \left[ 1 + { \kappa - 1 \over 2 } \, { M }^2 \right] }^{ -1 } } } \right] }^{ ( \kappa + 1 ) / 2 ( \kappa - 1 ) }$

Und schliesslich nach dem Zusammenfassen der eckigen Klammern:

(17)

$\dot m = { A \, p_\mathrm{t} \over \sqrt{ T_\mathrm{t} } } \, \sqrt{ { \kappa \over R_\mathrm{S} } } \, M \, { \left[ { 1 + { \kappa - 1 \over 2 } \, { M }^2 } \right] }^{ -( \kappa + 1 ) / 2 ( \kappa - 1 ) }$

Quelle

Diese Seite ist ein Auszug und eine Übersetzung der Seite Mass Flow Rate (Chocking) von Tom Benson Thomas.J.Benson@NASA.gov der NASA (National Aeronautics and Space Administration).

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Created	Donnerstag, 15. Oktober 2015

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Changed	Sonntag, 27. Oktober 2019

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