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Schub eines Fan/Propellerantriebs

Der Fan eines Triebwerks hat keinen eigenen Antrieb, sondern wird vom Kerntriebwerk mit angetrieben. Der Fan funktioniert daher wie ein Propeller. Auf dieser Seite werden die Formeln für die Berechnung des Schubs aufgeführt und mit dem Rechenformular können konkrete Berechnungen vorgenommmen werden.

Allgemeine Schub-Formel

Der Schub entsteht durch den Druckunterschied zwischen Vorderseite und Rückseite des Fan bzw. Propellers und ist proportional zur nutzbaren Fläche [1]:

(1)

$F_2 = A \, ( p_\mathrm{t2} - p_\mathrm{t0} )$

wobei^'

$F_2$ ^'	=^'	^'Schub des Fans/Propellers
$A$ ^'	=^'	^'Propeller- bzw. Fan-Fläche
$p_\mathrm{t2}$ ^'	=^'	^'Staudruck hinter dem Fan/Propeller
$p_\mathrm{t0}$ ^'	=^'	^'Staudruck vor dem Fan/Propeller

Hinweis zu den Indizes: Der Index 0 steht jeweils für die physikalischen Grössen, die vor dem Triebwerk herrschen. Geschwindigkeiten der Luftmasse beziehen sich auf das Triebwerk. Der Index 2 wird für Grössen nach dem Fan verwendet. Index 1 ist für das Kerntriebwerk reserviert, was auf dieser Seite nicht berechnet wird.

Bei Geschwindigkeiten unterhalb von Mach 0,3 kann man Luft als ideales Gas betrachten und entsprechend einfache Formeln verwenden. Für höhere Geschwindigkeiten muss man die Kompressibilität der Luft berücksichtigen, welche den dynamischen Druck erhöht.

Nachfolgend werden zuerst die Berechnungen für ein ideales inkompressibles Gas gezeigt, danach die Berechnungen für kompressible Gase.

Schubberechnung für ideale inkompressible Gase

In diesem Abschnitt wird der Schub für ideale Gase berechnet. Die Formeln gelten angenähert bis zu einer Geschwindigkeit von ca. Mach 0,3.

Der Staudruck bzw. totale Druck ist die Summe des statischen Drucks p_s und des dynamischen Drucks q.

(2)

$p_\mathrm{t} = p_\mathrm{s} + q = p_\mathrm{s} + { 1 \over 2 } \, \rho \, v^2$

wobei^'

$p_\mathrm{t}$ ^'	=^'	^'Staudruck bzw. totaler Druck
$p_\mathrm{s}$ ^'	=^'	^'statischer Druck der Umgebung
$q$ ^'	=^'	^'dynamischer Druck aufgrund der Geschwindigkeit v
$\rho$ ^'	=^'	^'Luftdichte, abhängig von der Höhe und Temperatur
$v$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit der Luftmasse relativ zum Triebwerk

Eingesetzt in Formel (1) ergibt dies den Schub:

(3)	$F_2 = A \, ( p_\mathrm{t2} - p_\mathrm{t0} ) = A \, \left[ \left( p_\mathrm{s} + { 1 \over 2 } \, \rho \, { v_2 }^2 \right) - \left( p_\mathrm{s} + { 1 \over 2 } \, \rho \, { v_0 }^2 \right) \right]$

Der statische Druck p_s kürzt sich heraus und es resultiert:

(4)

$F_2(h,v_2,v_0) = A \, { 1 \over 2 } \, \rho(h) \, \left( { v_2 }^2 - { v_0 }^2 \right)$

mit

$\rho(h) = \rho_0 \, \left[ 1 + {\alpha \, h \over T_0} \right] ^ {-\beta - 1} \qquad \beta = {g \over R_\mathrm{S} \, \alpha}$

wobei^'

$F_2$ ^'	=^'	^'Schub des Propellers bzw. Fan
$h$ ^'	=^'	^'Flughöhe h ≤ 11 km
$v_0$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit der Luft vor dem Fan relativ zum Triebwerk
$v_2$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit der Luft hinter dem Fan relativ zum Triebwerk
$A$ ^'	=^'	^'Propeller- bzw. Fan-Fläche
$\rho(h)$ ^'	=^'	^'Luftdichte in der Höhe h, siehe Barometrische Höhenformel
$\rho_0$ ^'	=^'	^'Referenz-Luftdichte auf Meereshöhe = 1,225 kg/m³
$T_0$ ^'	=^'	^'Referenz-Temperatur auf Meereshöhe = 288,15 K
$\alpha$ ^'	=^'	^'Temperatur-Gradient für h ≤ 11 km = -0.0065: K/m
$g$ ^'	=^'	^'Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe = 9,806 65 m/s²
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/(kg·K)

Einschränkung: Die obige Formel für ρ(h) gilt für die Troposphäre mit einem linearen Temperaturverlauf bis in eine Höhe von h ≤ 11 km. Für grössere Höhen gilt sie nur noch angenähert. Für grössere Höhen müssen die Formeln Schichtenmodell ( Ziel-Seite Barometrische Höhenformel) angewandt werden.

Schubberechnung für kompressible Gase

In diesem Abschnitt wird der Schub für Kompressible Gase berechnet. Die Formeln gelten für Geschwindigkeit unterhalb Mach 1. Bei annähernd Schallgeschwindigkeit und darüber müssen kompliziertere Formeln verwendet werden, welche hier nicht aufgeführt werden. Verkehrsflugzeuge fliegen mit Geschwindigkeiten von ca. Mach 0,8 bis Mach 0,85. In Triebwerken wird möglichst nahe an der Schallgeschwindigkeit operiert, aber nicht darüber, um Leistungsverluste und Schäden durch Überschalleffekten zu minimieren.

In folgender Formel für den Schub wird beim Staudruck bzw. totalen Druck die Kompressibilität der Luft berücksichtigt:

(5)

$F_2(h,v_2,v_0) = A \, \Big[ p_\mathrm{t}(h,v_2) - p_\mathrm{t}(h,v_0) \Big]$

mit

$p_\mathrm{t}(h,v) = p_\mathrm{s}(h) \, { \left[ 1 + { \kappa - 1 \over 2 } \, { Ma(h,v) }^2 \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) }$

und

$p_\mathrm{s}(h) = p_0 \, { \left[ 1 + { \alpha \, h \over T_0 } \right] }^{ -g / ( R_\mathrm{s} \, \alpha ) }$

und

$T(h) = T_0 + \alpha \, h$

und

${ Ma(h,v) }^2 = { T_0 \over T(h) } \, { Ma_0 }^2 = { T_0 \over T(h) } \, { \left( { v \over a_0 } \right) }^2$

wobei^'

$F_2$ ^'	=^'	^'Schub des Propellers bzw. Fan
$h$ ^'	=^'	^'Flughöhe h ≤ 11 km
$v_0$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit der Luft vor dem Fan relativ zum Triebwerk
$v_2$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit der Luft hinter dem Fan relativ zum Triebwerk
$A$ ^'	=^'	^'Propeller- bzw. Fan-Fläche
$p_\mathrm{t}$ ^'	=^'	^'Staudruck vor (p_t(h,v0)) bzw. hinter dem Fan (p_t(h,v2))
$p_s$ ^'	=^'	^'statischer Umgebungsdruck, siehe Barometrische Höhenformel
$Ma_0$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit rel. zur Schallgeschwindigkeit (Mach-Zahl) auf Meereshöhe
$Ma$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit rel. zur Schallgeschwindigkeit (Mach-Zahl) in der Höhe h
$p_0$ ^'	=^'	^'Referenz-Luftdruck auf Meereshöhe = 101 325 Pa
$T_0$ ^'	=^'	^'Referenz-Temperatur auf Meereshöhe = 288,15 K
$a_0$ ^'	=^'	^'Referenz-Schallgeschwindigkeit auf Meereshöhe = √κ R_S T₀ = 340,3 m/s
$\kappa$ ^'	=^'	^'Adiabatenexponent (kappa), für Luft ist κ = 1,4
$\alpha$ ^'	=^'	^'Temperatur-Gradient für h ≤ 11 km = -0.0065: K/m
$g$ ^'	=^'	^'Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe = 9,806 65 m/s²
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/(kg·K)

Einschränkung: Die obige Formeln für p(h) und T(h) gelten für die Troposphäre mit einem linearen Temperaturverlauf bis in eine Höhe von h ≤ 11 km. Für grössere Höhen müssen die Formeln Schichtenmodell ( Ziel-Seite Barometrische Höhenformel) angewandt werden, da bis in eine Höhe von 20 km die Temperatur konstant ist.

Schubberechnung für kompressible Gase auf Meereshöhe

Beschränkt man sich auf Meereshöhe h = 0, so vereinfachen sich die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt zu:

(6)

$F_2(v_2,v_0) = A \, \Big[ p_\mathrm{t}(v_2) - p_\mathrm{t}(v_0) \Big]$

mit

$p_\mathrm{t}(v) = p_0 \, { \left[ 1 + { \kappa - 1 \over 2 } \, { Ma_0(v) }^2 \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) } = p_0 \, { \left[ 1 + { \kappa - 1 \over 2 } \, { \left( { v \over a_0 } \right) }^2 \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) }$

ergibt

$F_2(v_2,v_0) = A \, p_0 \, \left\{ { \left[ 1 + { \kappa - 1 \over 2 } \, { \left( { v_2 \over a_0 } \right) }^2 \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) } - { \left[ 1 + { \kappa - 1 \over 2 } \, { \left( { v_0 \over a_0 } \right) }^2 \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) } \right\}$

bzw.

$F_2(v_2,v_0) = A \, p_0 \, \left\{ { \left[ 1 + 0{,}2 \, { \left( { v_2 \over a_0 } \right) }^2 \right] }^{ 3{,}5 } - { \left[ 1 + { 0{,}2 } \, { \left( { v_0 \over a_0 } \right) }^2 \right] }^{ 3{,}5 } \right\}$

wobei^'

$F_2$ ^'	=^'	^'Schub des Propellers bzw. Fan
$v_0$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit der Luft vor dem Fan relativ zum Triebwerk
$v_2$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit der Luft hinter dem Fan relativ zum Triebwerk
$A$ ^'	=^'	^'Propeller- bzw. Fan-Fläche
$p_\mathrm{t}$ ^'	=^'	^'Staudruck vor (p_t(h,v0)) bzw. hinter dem Fan (p_t(h,v2))
$Ma_0$ ^'	=^'	^'Geschwindigkeit rel. zur Schallgeschwindigkeit auf Meereshöhe = v / a₀
$p_0$ ^'	=^'	^'Referenz-Luftdruck auf Meereshöhe = 101 325 Pa
$a_0$ ^'	=^'	^'Referenz-Schallgeschwindigkeit = √κ R_S T₀ = 340,3 m/s Standardatmosphäre
$\kappa$ ^'	=^'	^'Adiabatenexponent (kappa), für Luft ist κ = 1,4

Rechenformular

Die Werte in diesem Rechenformular werden nach dem Schichtenmodell des Barometrischen Höhenmodells berechnet. Die Werte nach den Formeln für Ideale Gase und Kompressible Gase werden einander gegenübergestellt.

h	Flughöhe
A	wirksame Fläche des Fan/Propellers
v	Geschwindigkeit der Luftmasse bez. Triebwerk; 0 → vor; 2 → dahinter
F	Schub
q	dynamischer Druck

p_t	totaler Druck = statischer plus dynamischer Druck
T(h)	Temperatur in der Höhe h
p_s(h)	statischer Druck in der Höhe h
ρ(h)	Luftdichte in der Höhe h

Quellen

[1]

Propeller Thrust

; Glenn Research Center; NASA; Editor: Nancy Hall; May 05 2015
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/propth.html

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