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Biegekreis an belasteten Balken

Dienstag, 1. November 2016 - 22:44 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Animation, Interaktiv | Kommentare(1)

beschreibt das Verhalten von Balken unter Belastung, insbesondere seine Biegung als Folge eines belastenden Biegemomentes. Hier leite ich die Formel für den Schmiegekreis an den gekrümmten Balken her. Mit dem Rechenformular können Berechnungen am Biegebalken vorgenommen werden.

Interaktive Grafik

Die folgende Grafik veranschaulicht stark übertrieben, wie sich ein Balken unter Last verbiegt. Dabei liegt der Balken an beiden Enden auf einer Unterlage auf und die Belastung greift genau in der Mitte an. Mit dem schwarzen Regler kann die Stelle gewählt werden, an welcher der Schmiegekreis berechnet und angezeigt wird.

Formeln der Biegekurve

Die folgende Formel beschreibt, wie weit sich der Balken an einer bestimmten Position x unter der Last F nach unten verbiegt.

(1)

$y = { F \over I \cdot E } \cdot \left[ { { L }^2 \cdot x \over 16 } - { { x }^{ 3 } \over 12 } \right]$

wobei^'

$y$ ^'	=^'	^'Auslenkung an der Stelle x. Negative Werte zeigen nach unten.
$F$ ^'	=^'	^'Kraft, die an der Mitte des Balkens angreift. Für Kraft nach unten negative Werte einsetzen.
$I$ ^'	=^'	^'Flächenträgheitsmoment
$E$ ^'	=^'	^'Elastizitätsmodul
$L$ ^'	=^'	^'Länge des Balkens

Die erste und zweite Ableitung der Funktione (1) brauchen wir zur Berechnung des Schmiegekreises:

(2)	$y^{\,\prime} = { F \over I \cdot E } \cdot \left[ { { L }^2 \over 16 } - { { x }^2 \over 4 } \right]$

(3)	$y^{\,\prime\prime} = { -F \cdot x \over I \cdot E \cdot 2 }$

Dies können wir nun in die Formeln für Krümmungskreise an Funktionen einsetzen:

(4)

$R = { { \left( 1 + { y' }^2 \right) }^{ 3 / 2 } \over y'' }$

(5)

$Z_x = x - { R(x) \cdot y^{\,\prime} \over \sqrt{ 1 + { y^{\,\prime} }^2 } } = x - { \left( 1 + { y^{\,\prime} }^2 \right) \cdot y^{\,\prime} \over y^{\,\prime\prime} }$

(6)

$Z_y = y + { R(x) \over \sqrt{ 1 + { y^{\,\prime} }^2 } } = y + { 1 + { y^{\,\prime} }^2 \over y^{\,\prime\prime} }$

wobei^'

$R$ ^'	=^'	^'Radius des Schmiegekreises
$Z_x$ ^'	=^'	^'X-Koordinate des Zentrums des Schmiegekreises
$Z_y$ ^'	=^'	^'Y-Koordinate des Zentrums des Schmiegekreises

Nach einsetzen der Formeln (1) bis (3) erhalten wir:

(7)

$R(x) = { -2 \cdot I \cdot E \over F \cdot x } \cdot { \left\{ 1 + { \left[ { F \over I \cdot E } \cdot \left( { { L }^2 \over 16 } - { { x }^2 \over 4 } \right) \right] }^2 \right\} }^{ 3 / 2 }$

(8)

$Z_x(x) = x + { 2 \cdot I \cdot E \over F \cdot x } \cdot \left\{ 1 + { \left[ { F \over I \cdot E } \cdot \left( { { L }^2 \over 16 } - { { x }^{ 2 } \over 4 } \right) \right] }^2 \right\} \cdot \left[ { F \over I \cdot E } \cdot \left( { { L }^2 \over 16 } - { { x }^{ 2 } \over 4 } \right) \right]$

(9)

$Z_y(x) = { F \over I \cdot E } \cdot \left[ { { L }^2 \cdot x \over 16 } - { { x }^{ 3 } \over 12 } \right] - { 2 \cdot I \cdot E \over F \cdot x } \cdot \left\{ 1 + { \left[ { F \over I \cdot E } \cdot \left( { { L }^2 \over 16 } - { { x }^{ 2 } \over 4 } \right) \right] }^2 \right\}$

Wenn die Kraft F nach unten zeigt, muss ein negativer Wert verwendet werden.

Es ist praktischer, zuerst die Werte mit den Formeln (1) bis (3) auszurechnen und diese dann in die Kreisformeln (4) bis (6) einzusetzen, als mit den ungetümen Formeln (7) bis (9) zu arbeiten.

Wenn nur der Radius in der Mitte des Balkens gesucht ist, kann man x = L / 2 setzen und erhält:

(10)

$R( L/2 ) = { 4 \cdot I \cdot E \over | F | \cdot L }$

Rechenformular

F: Auflagekraft in der Mitte des Balkens. Positive Werte zeigen nach unten.

L: Länge des Balkens.

E: Das Elastizitätsmodul ist ein Materialkennwert, der den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung bei der Verformung eines festen Körpers bei linear-elastischem Verhalten beschreibt.

I: Das Flächenträgheitsmoment ist eine geometrische Grösse, die aus dem Balkenquerschnitt und Profil berechnet wird.

x: Position, an der die Auslenkung des Balkens und der Schmiegekreis berechnet werden soll.

y_max: Auslenkung in der Mitte des Balkens, dort wo die Kraft F wirkt. Hier ist die Auslenkung maximal.

R_min: Radius des Schmiegekreises in der Mitte des Balkens. Hier ist der Radius am kleinsten. Wenn der Radius unendlich wird, wird NaN angezeigt.

y(x): Auslenkung an der Stelle x des Balkens.

R(x): Radius des Schmiegekreises an der Stelle x des Balkens.

Z_x(x): X-Position des Zentrums des Schmiegekreises.

Z_y(x): Y-Position des Zentrums des Schmiegekreises.

Kommentare

1Ralf Schmidt 02.11.2016 | 09:35

Super gemacht ... genau das brauche ich.
Danke ^^

P.S. die Werte stimmen auch !!

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