Alle hier gezeigten Formeln und Berechnungen gehen von einer exakt kreisförmigen Umlaufbahn des Himmelskörpers aus. In Wirklichkeit sind die Umlaufbahnen meist leicht ellipsenförmig. Die berechneten Werte für unser Sonnensystem sind jedoch relativ gute Näherungen.

Einfluss der Gravitation eines Himmelskörpers

Zentrifugalkräfte; Quelle Wikipedia

Um die Berechnungen nicht auf das Erde-Mond-System zu beschränken, werden die Formeln für zwei beliebige Himmelskörper hergeleitet, einen Zentralkörper Z und seinen Himmelskörper H. In den Rechenformularen kann man eine bestimmte Kombination von Himmelskörpern wählen oder eigene Werte eingeben. Um die Beschreibung zu vereinfachen wähle ich als Zentralkörper die Erde und als Himmelskörper den Mond.

Abgesehen von der Eigenrotation rotieren Erde und Mond um den gemeinsamen Schwerpunkt des Erde-Mond Systems, genannt das Baryzentrum. Durch die Rotation der Erde um das Baryzentrum entstehen Fliehkräfte, bzw. deren Beschleunigungen. Als Bezugssystem für diese Beschleunigungen nehmen wir eine Erde ohne Eigenrotation, da die Zentrifugalbeschleunigung der Eigenrotation separat berechnet wird und in der Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche bereits enthalten ist.

Gezeitenkräfte an der Erdoberfläche, Quelle Wikipedia

Die Zentrifugalbeschleunigung a_F aufgrund der Rotation des Erde-Mond Systems um das Baryzentrum ist immer parallel zur Erde-Mond-Achse und zeigt immer vom Mond weg. Die Gravitationsbeschleunigung a_H des Mondes zeigt von jedem Punkt der Erde zum Zentrum des Mondes. Die Gezeitenbeschleunigung a_T ist die Vektorsumme dieser beiden Beschleunigungen.

Die Gezeitenbeschleunigung ist am grössten auf der Mond-zugewandten Seite und zeigt in Richtung des Mondes. Auf der gegenüberliegenden Seite der Erde ist die Beschleunigung kleiner, weil der Abstand zum Mond dort grösser ist, und sie zeigt in die Gegenrichtung, weil die Zentrifugalbeschleunigung an diesem Punkt grösser als die Anziehungskraft des Mondes ist. Im Massenzentrum der Erde heben sich diese beiden Beschleunigungen gerade auf.

Zentrifugalbeschleunigung

Die Zentrifugalbeschleunigung an jedem Punkt der Erdoberfläche ist gleich der Zentripetalbeschleunigung a_Z aufgrund der Anziehungs des Mondes am Erdmittelpunkt, welche gleich gross aber entgegengesetzt der Gravitationsbeschleunigung der Erde auf den Mond ist, vergleiche mit (10) und (11). Diese Beschleunigung kann auf zwei Arten berechnet werden:

Zentripetalbeschleunigung aus der Newton'schen Bewegungsgleichung

Zentripetalbeschleunigung aus dem Newton'schen Gravitationsgesetz

(2)	$$\vec a_{\mathrm{Z},2} = { G \cdot M_\mathrm{H} \over {d_\mathrm{H}}^2 } \cdot \hat r_\mathrm{H}$$
mit	$$\hat r_\mathrm{h} = \pmatrix{ 1 \\ 0 }$$
wobei'	$\vec a_{\mathrm{Z},2}$ ' =' 'Zentripetalbeschleunigung, welche die Umlaufbahn des Zentralkörpers (Erde) um das Baryzentrum bewirkt, siehe Newtonsches Gravitationsgesetz $G$ ' =' '6,674 08 ·10−11 m3/(kg·s2) = Gravitationskonstante $M_\mathrm{H}$ ' =' 'Masse des Himmelskörpers (Mond) $d_\mathrm{H}$ ' =' 'mittlerer Abstand der Zentren des Zenralkörpers (Erde) und des Himmelskörpers (Mond) $\hat r_\mathrm{H}$ ' =' 'Einheitsvektor vom Mittelpunkt des Zentralkörpers (Erde) in Richtung des Himmelskörpers (Mond)

Die entsprechende Zentrifugalbeschleunigung a_F zeigt in die Gegenrichtung a_Z:

Gravitationsbeschleunigung

Die Gravitationsbeschleunigung a_H des Mondes auf einen beliebigen Punkt P auf der Erdoberfläche kann mit dem Newton'schen Gravitationsgesetz berechnet werden, wenn man den Abstand d_PH des Punktes zum Zentrum des Mondes kennt:

Gezeitenbeschleunigung

Die Gezeitenbeschleunigung des Mondes a_T (T steht für engl. Tides = Gezeiten) auf einen Punkt P auf der Erde ist die Vektorsumme:

Der Betrag der Gezeitenbeschleunigung ist:

Komponenten der Gezeitenbeschleunigung

Um den Höhenwinkel α der Gezeitenbeschleunigung bezüglich dem Horizont in Blickrichtung Himmelskörper zu berechnen, kann man die folgende Beziehung des Skalarproduktes zweier Vektoren verwenden, wobei α der Winkel ist, den die beiden Vektoren zueinander bilden:

In unserem Falle ist $\vec r_\mathrm{n}$ bereits ein Einheitsvektor, womit nicht durch seinen Betrag 1 dividiert werden muss. Wir erhalten schliesslich den Winkel:

Für die Meeres-Gezeiten sind nur die Komponenten von $a_\mathrm{T}$ horizontal zur Oberfläche von Bedeutung, denn diese Komponenten bewirken die Meeresströmungen, die zu Ebbe und Flut werden. Wir zerlegen daher die Gezeitenbeschleunigung in eine horizontale $a_{\mathrm{T},\mathrm{s}}$ und eine vertikale Beschleunigung $a_{\mathrm{T},\mathrm{h}}$:

Rechenformular

Klicke auf einen der Buttons rechts in der Titelzeile um eine Kombination von Zentralkörper und Himmelskörper zu wählen. Du kannst auch Berechnungen für andere beliebige Himmelskörper anstellen, indem du selbst entsprechende Werte in die Eingabefelder eingibst.

Der Wert im gelben Feld ist die Komponente der Gezeitenkraft, die horizontal wirkt und daher für das fliessen des Wassers verantwortlich ist.

Mit dem Winkel φ kann ein Punkt P auf der Erdoberfläche gewählt werden, für den die Beschleunigungen berechnet werden sollen. φ = 0° gibt den Mond-Nächsten Punkt an, φ = 180° den Mond-Fernsten Punkt. Der Berechnete Winkel α_T ist die Richtung bezüglich Erdoberfläche, in welche die Gezeiten-Beschleunigung a_T wirkt. Negative α_T zeigen in die Erde hinein.

Berechnungen zu den Gezeiten

Bei einem Winkel φ = 44,4° wird die maximale horizontale Gezeitenbeschleunigung a_T,s = 0,000 000 84 m/s² im Erde-Mond System erreicht. Diese Gezeitenbeschleunigung is ca. 12 millionen mal schwächer als die Gravitationsbeschleunigung der Erde. Da aber die kleinsten horizontalen Kräfte genügen, um Wasser in die Richtung der Kraft fliessen zu lassen, reichen diese minimalen horizontalen Gezeitenbeschleunigungen aus, genügend Wassermassen fliessen zu lassen, um erhebliche Meeres-Gezeiten entstehen zu lassen, weil die Meere entsprechend gross sind. Da aber überall Landmassen den Weg des Wassers mehr oder weniger versperren, gibt es sehr unterschiedliche Gezeiten an den verschiedenen Küsten.

Die Gezeiten in einem See oder einem Pool funktionieren anders, da dort nicht genug Wassermasse für erhebliche Gezeiten zur Verfügung stehen. Das Wasser in einem See oder Pool fliesst nur so lange, bis die Vektorsumme aus horizontaler Gezeitenbeschleunigung und Gravitationabeschleunigung senkrecht zur Wasseroberfläche steht. Die Wasseroberfläche ist im Gleichgewicht also leicht geneigt um einen maximalen Winkel von 0,0177" (Bogensekunden). Dies ergibt für den Baikal See mit einer Länge von 673 km einen Höhenunterschied im Wasserstand von einem Ende zum anderen von maximal 5,8 cm. In einem Pool von 10 m Länge ist der Unterschied weniger als 1 μm.

Umlaufperiode des Himmelskörpers

Der Mond wird von der Erde mit der Zentripetal-Beschleunigung a_H angezogen. Diese Beschleunigung kann auf zwei Arten berechnet werden:

Diese Zentripetal-Beschleunigung wird durch die Anziehungskraft der Erde aufgebracht und kann nach Newton berechnet werden:

(11)	$$a_{\mathrm{H},2} = { G \cdot M_\mathrm{Z} \over { d_\mathrm{H} }^2 }$$
wobei'	$a_{\mathrm{H},2}$ ' =' 'Zentripetal-Beschleunigung, welche die Kreisbahn des Himmelskörpers (Mond) um das Baryzentrum bewirkt, siehe Newtonsches Gravitationsgesetz $G$ ' =' '6,674 08 ·10−11 m3/(kg·s2) = Gravitationskonstante $M_\mathrm{Z}$ ' =' 'Masse des Zentralkörpers (Erde) $d_\mathrm{H}$ ' =' 'mittlerer Abstand der Zentren des Zenralkörpers (Erde) und des Himmelskörpers (Mond)

Durch Gleichsetzen der Formeln (10) und (11) können wir die Orbital-Winkelgeschwindigkeit und daraus die Umlaufdauer des Mondes berechnen:

Die mittlere Orbitalgeschwindigkeit v_H, hergeleitet aus der Bewegungsgleichung, ist:

Abweichungen der hier berechneten Werte von den offiziellen astronomischen Werten z.B. aus der Wikipedia kommen von der Vereinfachung, dass hier mit idealen Kreis-Orbits gerechnet wird, statt mit den realen elliptischen Umlaufbahnen.

Baryzentrum

Das gemeinsame Massenzentrum von Erde und Mond, genannt das Baryzentrum, liegt im Abstand b vom Erdmittelpunkt zwischen Erde und Mond. Für den gemeinsamen Schwerpunkt zweiter Körper gilt, dass die Beträge der Drehmomente der Massen um diesen Punkt gleich gross sind:

Aufgelöst nach b ergibt dies:

Zentripetalbeschleunigung aus der Bewegungsgleichung

Wenn man die Bewegungsbahn eines Körpers in abhängigkeit der Zeit kennt, kann man seine Geschwindigkeit und Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt berechnen, indem man nach der Zeit ableitet. Im Falle einer Kreisbahn erhält man dadurch die Umlaufgeschwindigkeit und die Zentripetal-Beschleunigung.

Eine Kreisbahn um den Nullpunkt mit Radius R und Winkelgeschwindigkeit ω kann man wiefolgt mathematisch beschreiben:

Durch die erste Ableitung der Bewegungsbahn nach der Zeit erhält man die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt:

Die Geschwindigkeit ist immer tangential zur Umlaufbahn. Ihr Betrag ist:

Der Ausdruck unter der Wurzel ergibt immer 1, da sin(x)² + cos(x)² = 1 ist. Wir erhalten also für die Tangentialgeschwindigkeit eines Körpers auf einer Kreisbahn:

Leitet man die Geschwindigkeit nach der Zeit ab, erhält man die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt:

Die Beschleunigung zeigt immer zum Zentrum der Umlaufbahn. Der Betrag der Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt entspricht der Länge des Vektors $\vec a$. Diese erhält man wiefolgt:

Der Ausdruck unter der Wurzel ergibt immer 1, da sin(x)² + cos(x)² = 1 ist. Wir erhalten also für die Zentripetalbeschleunigung eines Körpers auf einer Kreisbahn:

Die Beschleunigung a zeigt immer zum Kreiszentrum und ist für Kreisbahnen konstant. Sie nimmt mit dem Abstand vom Zentrum linear zu und quadratisch mit der Umlauffrequenz.

Kommentare

1guenter-trabert 30.12.2018 | 19:05

sehr hilfreich
Nur: den Zahlenwechsel in der Umlaufbahn des Himmelskörpers
beim Tausch Erde-Sonne gegen Sonne-Erde
1,781 531 2 E-08
habe ich nicht verstanden.
Oder ist das die Erdbeschleunigung auf der Sonnenoberfläche?

2wabis (Walter Bislin, Autor dieser Seite) 16.10.2019 | 23:00

Guenter, korrekt

3Potterhead 30.10.2019 | 15:53

Wikipedia ist dumm und es stimmt fast nichts

4wabis (Walter Bislin, Autor dieser Seite) 30.10.2019 | 21:10

Potterhead, so du hast fast die ganze Wikipedia gelesen und bist Experte in all diesen Gebieten? Kannst du deine Behauptung belegen? Warum korrigierts du nicht die Artikel, anstatt hier zu statieren, dass sie falsch sind? Jeder kann die Wikipedia editieren.

5elmo 02.11.2020 | 07:33

also hat die erde eine gewichtskraft auf die sonne bezogen von
anziehungskraft von Sonne auf erde -
anziehungskraft erde auf die Sonne???

6wabis (Walter Bislin, Autor dieser Seite) 03.11.2020 | 20:24

Jede Masse zieht jede andere Masse an

elmo: also hat die erde eine gewichtskraft auf die sonne bezogen von anziehungskraft von Sonne auf erde - anziehungskraft erde auf die Sonne???

In der Natur gibt es nicht Massen, die anziehen und Massen, die nicht anziehen. Masse ist Masse. Jede Masse hat Gravitation. Also zieht jede Masse jede andere Masse an, siehe Cavendish-Experiment. Es ist sogar so, dass sich zwei verschiedene Massen immer mit derselben Kraft anziehen. Das heisst, du ziehst die Erde mit derselben Kraft zu dir wie die Erde dich zu ihr zieht. Dies wird in Newton's drittem Gesetzt ausgedrückt:

Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich grosse, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).

Warum merken wir dann nicht dass wir die Erde anziehen? Dies hat mit der Masse und Beschleunigung zu tun. Wir sehen die Anziehungskraft als Beschleunigung mit der sich anziehende Körper aufeinader zu bewegen. Berechnen wir also mal die Beschleunigungen für einen Menschen mit der Masse 75 kg und für die Erde mit der Masse 5,9724 ·10²⁴ kg. Zunächst müssen wir die Kraft berechnen, mit der sich der Mensch und die Erde gegenseitig anziehen. Diese ist nach Newton:

(24)	$$F = { G \cdot M \cdot m \over R^2 } = 736{,}5\ \mathrm{N}$$
wobei'	$F$ ' =' 'Kraft zwischen Erde und Mensch $G$ ' =' '6,674 ·10−11 N·m2/kg2 = Gravitationskonstante $M$ ' =' '5,9724 ·1024 kg = Masse der Erde $m$ ' =' '75 kg = Masse des Menschen $R$ ' =' '6 371 000 m = Abstand der Massenzentren, hier also der mittlere Radius der Erde

Die Erde zieht den Menschen mit der Kraft 736,5 N an und der Mensch zieht die Erde mit der Kraft 736,5 N an. Berechnen wir nun, wie sich Mensch und Erde aufeinader zu beschleunigen. Dazu nutzen wir Newton's zweites Gesetzt: F = m · a und lösen nach der Beschleunigung a auf:

(25)	$$a_\mathrm{m} = { F \over m } = { 736{,}5\ \mathrm{N} \over 75\ \mathrm{kg} } = 9{,}807\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$$
(26)	$$a_\mathrm{M} = { F \over M } = { 736{,}5\ \mathrm{N} \over 5{,}9724 \cdot 10^{24}\ \mathrm{kg} } = 1{,}233 \cdot 10^{-22}\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$$
wobei'	$a_\mathrm{m}$ ' =' 'Beschleunigung mit welcher der Mensch auf die Erde zu beschleunigt wird (oft als g bezeichnet) $a_\mathrm{M}$ ' =' 'Beschleunigung mit welcher die Erde sich auf den Menschen zu beschleunigt $F$ ' =' 'Kraft zwischen Erde und Mensch $M$ ' =' '5,9724 ·1024 kg = Masse der Erde $m$ ' =' '75 kg = Masse des Menschen

Bahn des Baryzentrum des Sonnensystems im Koordinatensystem der Sonne. Source Wikipedia

Wie du siehst ist die Beschleunigung der Erde auf den Menschen zu unmessbar klein und wird in Berechnungen auf der Erde vernachlässigt. Während sich der Mensch zum Beispiel in t = 1 s um s = 0,5·a·t² = 4,90 m auf die Erde zu bewegt hat, hat sich die Erde nur gerade 6,17 ·10⁻²³ m auf den Menschen zu bewegt. Atomdurchmesser sind in der Grössenordnung von 10⁻¹⁰ m. Die Erde hat sich also nur um den 1.6 billionstel Teil eines Atomdurchmessers auf den Menschen zu bewegt in 1 Sekunde.

Gleichfalls zieht die Sonne nicht nur ihre Planeten an, sondern jeder Planet zieht die Sonne mit derselben Kraft an. Da die Masse der grossen Planeten wie Jupiter und Saturn beträchtlich ist, kann dies nicht vernachlässigt werden. Die Anziehungskraft der Planeten auf die Sonne macht sich darin bemerkbar, dass die Sonne nicht fix im Zentrum stehen bleibt, sondern um das Schwerpunkts-Zentrum des ganzen Sonnensystems, Baryzentrum genannt, in einer komplizierten Bahn herum bewegt. Dies geschieht nur sehr langsam, da die grossen Planeten Jahre für einen Umlauf um die Sonne brauchen. Im Bild nebenan siehst du die gemessene Sonnenbahn über 50 Jahre (1945 bis 1995).

Der Artikel über das Baryzentrum in der englsichen Wikipedia zeigt viele Beispiele, wie Massen sich gegenseitig anziehen und um das gemeinsame Massenzentrum rotieren.

Die Erde wird zum Beispiel auch vom Mond angezogen und weil der Mond im vergleich zur Erde eine nicht zu vernachlässigende Masse hat, rotieren Erde und Mond um ein gemeinsames Massezentrum, das nicht im Zentrum der Erde liegt, sondern einige tausen Kilometer in Richtung Mond, aber immer noch innerhalb der Erde. Dies ist auch der Grund, weshalb aus Sicht der klassischen Mechanik die Erde nicht nur auf der dem Mond zugewandten Seite eine Flutwelle hat. Die mondabgewandte Seite wird quasi um das Baryzentrum herum "geschleudert", so dass auch auf der mondabgewandten Seite eine Flutwelle entsteht.

7Frifits 02.12.2020 | 15:13

ich versteh da leider nich viel von :-)
merci für erklärungsversuch und info
Das ist ein grösseres thema.
Menschen versuchen zu begreifen
u am Ende ist "alles" relativ

Friefits

8Fritspomm 02.12.2020 | 15:33

Ich hab viele Fragen und manche Ansichts-gedankenZum
einen glaube ich, dass die Erde ja ein wunderwerk ist
zum andern versuchte ich zu erkennen was genau es
sein könnte , wenn sich sonne verdunkelt
wie es in der bibel heisst
es gibt da einen film , ich glaub zeichentrick ?
ice age v , ich hab ihn nicht mal angekuckt
und nur einen ausschnitt gesehen
ein fremder planet macht, dass das wasser in die höhe
schnellt , so an den gedanken der durchquerung des
roten meers durch israeliten , auch gibt es gedanken
ob ein (planet , brauner zwerg , nicht lebende sonne )
(rot glimmende zigarettenglut planet) namens "nibiru"
sein könnte , wie schon geschrieben es ist relativ
ansichten , es gibt menschen die haben oder hatten
realitätsprobleme , und es gibt menschen die haben fragen
und werden kritisiert oder geblockt, nur weil sie anders denken
als andere .Dabei ist anders denken keine boese handlung an sich
sondern nur anders. die "Masse" an Menschen versucht
doch dinge zu bestätigen die alle andern auch denken
und wer hinterfragt in dem was hier geschieht.
ein Mensch fragte mal , : WAS IST WAHRHEIT
das ist eine wichtige frage
denn menschen , verachten die andern , nur weil die denken
es sei eine flache erde , und andere verachten andere , weil sie
denken es sei niemals eine mondlandung gewesen
realität ist denke ich das grundlegende , um antwort
ergründen zu können
wer Werke des HERRn erforscht hat Freude daran
was oder wer ost wahrheit
ist die erde vielleicht flach, dann ist die sonne vielleicht kleiner
irgendwie hat man das mit schatten versucht zu erklären
auch wenn ich bei ihren berechnungen nicht ganz
"mitkomme", weiß ich etwas , was andere nicht wissen
etc.
und andere wissen , was ich nicht weiß
ich glaube das, wenn jemand meint man kann mit dem
Herzen sehen

alles gute ihnen und euch
nehmt es mir bitte nicht uebel
es ist nicht boese gemeint
danke& dailyverses.net

9manu 08.01.2023 | 17:42

Phänomenal.
Ich bereite mich gerade auf die Präsentation meiner Seminararbeit vor (Thema: Mathematische Aspekte der Gezeitenbestimmung) und habe mit diesem Artikel die Lösung zu meinem Problem gefunden.
Ich konnte die eintägige Hauptmondtide O1 nicht erklären, und habe es auch nicht hinbekommen, aus den Formeln etwas brauchbares rauszubekommen. Jetzt weiß ich, dass die Anziehungskräfte des Mondes dafür sorgen, dass die Gezeit auf der dem Mond abgewandten Seite kleiner ist als auf der dem Mond zugewandten Seite. Dass die Anziehungskraft mit der Entfernung abfällt war mir bereits klar, jedoch dass sie einen Betraglichen Unterschied in der Resultierenden Gezeitenkraft mit der Zentrifugalkraft hat, konnte ich nicht beweisen.

Vielen Dank :)