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Ellipse an Parabel

Freitag, 31. Juli 2015 - 00:26 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Geometrie, Animation, Interaktiv

An eine Parabel lassen sich Ellipsen beliebiger Grösse so anschmiegen, dass beim Berührungspunkt deren erste und zweite Ableitung gleich sind. Auf dieser Seite wird jene Ellipsengleichung hergeleitet, bei der die Ellipse dieselbe Breite wie der Krümmungskreis am Scheitelpunkt der Parabel hat.

Für die Herleitung der Gleichung gehe ich von der Transformation aus, welche ich auf der Seite Verzerrter Kreis an Parabel hergeleitet habe.

Animation

Die folgende Animation zeigt als grüne Kurve den verzerrten Krümmungskreis, wie er aus der Transformation der vorherigen Seite hervor geht. Mit dem Parameter q kann seine Form variiert werden. Je grösser der Wert von q ist, desto mehr nähert sich die Form der grünen Kurve der Ellipsenform (rote Kurve).

Beachte, dass sowohl die grüne Kurve als auch die rote Ellipse dieselbe Breite 2r wie der blaue Kreis mit Radius r im Scheitelpunkt der Parabel haben. Ebenso sind die Höhen der beiden Kurven bei x = x₀ gleich 2r.

Ellipsen-Funktion

Für die Berechnung der Ellipse gehe ich von der folgenden Formel aus (Herleitung siehe Verzerrter Kreis an Parabel):

(1)

$c_\mathrm{t}(x) = { p(x) \over g(x) } \cdot c_\mathrm{g}(x) - q + b$

mit

$p(x) = a \, x^2 + q$

und

$g(x) = a \, { (x - x_0) }^2 + p( x_0 )$

und

$c_\mathrm{g}(x) = \mp \sqrt{ { r }^2 - { (x - x_0) }^2 } + r + p( x_0 )$

wobei^'

$c_\mathrm{t}(x)$ ^'	=^'	^'verzerrter grüner Kreis
$p(x)$ ^'	=^'	^'blaue Parabel
$g(x)$ ^'	=^'	^'an die Position ( x₀ , p(x₀) ) (grüner Marker) verschobene blaue Parabel
$c_\mathrm{g}(x)$ ^'	=^'	^'an die Position ( x₀ , p(x₀) ) verschobener blauer Kreis
$q$ ^'	=^'	^'Parameter, der die Form des verzerrten Kreises beeinflusst
$r$ ^'	=^'	^'Radius des blauen Kreises r = 1 / 2a
$a, b$ ^'	=^'	^'Parabel-Parameter

Anmerkung: Im Gegensatz zur Herleitung der Transformation kann ich hier darauf verzichten, nur mit positivem a zu rechnen und am Ende das Vorzeichen wieder einzufügen. Zum Beweis, einfach mal durchrechnen.

Wie wir am Modell oben sehen können, ergibt die Transformation für grosse Werte von q eine Ellipse (rot). Wir können also annehmen, dass q aus obiger Formel eliminiert werden kann, wenn wir q gegen Unendlich laufen lassen.

Zunächst fasse ich alle Terme zusammen, in denen q vorkommt und bringe diese auf einen Bruchstrich.

(2)	$c_\mathrm{t}(x) = \left[ { p(x) \over g(x) } \cdot c_\mathrm{g}(x) - q \right] + b = { p(x) \cdot c_\mathrm{g}(x) - q \cdot g(x) \over g(x) } + b = { A \over B } + b$

Ich berechne Zähler A und Nenner B separat.

(3)	$A = p(x) \cdot c_\mathrm{g}(x) - q \cdot g(x)$

(4)	$A = ( a \, { x }^2 + q ) \, \big[ \mp \sqrt{ .. } + a \, { x_0 }^2 + q + r \big] - q \, \big[ a \, { ( x - x_0 ) }^2 + a \, { x_0 }^2 + q \big]$

(5)	$A = ( a \, { x }^2 + q ) \, \big[ \mp \sqrt{ .. } + a \, { x_0 }^2 + q + r \big] - q \, \big[ a \, { x }^2 - 2 \, a \, x \, x_0 + 2 \, a \, { x_0 }^2 + q \big]$

Durch geeignetes Ausmultiplizieren versuche ich, Terme mit q zu separieren um zu sehen, ob sich einige solche Terme aufheben. Gleichzeitig lasse ich Terme der Form X + q stehen, denn diese können nachher vereinfacht werden:

(6)	$A = ( a { x }^2 + q ) ( \mp \sqrt{ .. } ) + ( a { x }^2 + q ) a { x_0 }^2 + \color{ blue }{ q a { x }^2 } + \color{ red }{ { q }^2 } + ( a { x }^2 + q ) r - \color{ blue }{ q a { x }^2 } + 2 q a x x_0 - 2 q a { x_0 }^2 - \color{ red }{ { q }^2 }$

Wie wir sehen, heben sich die farbigen Terme auf. Bei den verbleibenden Termen im rechten Bereich klammere ich nun noch q aus:

(7)	$A = ( a \, { x }^2 + q ) \, ( \mp \, \sqrt{ .. } ) + ( a \, { x }^2 + q ) \, a \, { x_0 }^2 + ( a \, { x }^2 + q ) \, r + q \, ( 2 \, a \, x \, x_0 - 2 \, a \, { x_0 }^2 )$

Jetzt berechne ich den Grenzwert des Zählers A für q → ∞:

(8)

$\lim_{ q \rightarrow \infty } A = \lim_{ q \rightarrow \infty } \Big[ ( \color{ red }{ a \, { x }^2 } + \color{ blue }{ q } ) \, ( \mp \sqrt{ .. } ) + ( \color{ red }{ a \, { x }^2 } + \color{ blue }{ q } ) \, a \, { x_0 }^2 + ( \color{ red }{ a \, { x }^2 } + \color{ blue }{ q } ) \, r + \color{ blue }{ q } \, ( 2 \, a \, x \, x_0 - 2 \, a \, { x_0 }^2 ) \Big]$

Wenn q gegen Unendlich geht, verschwinden die roten Terme in den Summen $(\color{red}{X} + \color{blue}{q})$ und es bleibt nur noch q übrig:

(9)

$\lim_{ q \rightarrow \infty } A = \lim_{ q \rightarrow \infty } \Big[ \color{ blue }{ q } \, ( \mp \sqrt{ .. } ) + \color{ blue }{ q } \, \color{ green }{ a \, { x_0 }^2 } + \color{ blue }{ q } \, r + \color{ blue }{ q } \, 2 \, a \, x \, x_0 - 2 \, \color{ blue }{ q } \, \color{ green }{ a \, { x_0 }^2 } \Big]$

Die beiden grünen Terme können noch zusammengefasst und q kann schliesslich ausgeklammert werden:

(10)	$\lim_{ q \rightarrow \infty } A = \lim_{ q \rightarrow \infty } \color{ blue }{ q } \, \Big[ \mp \sqrt{ .. } + 2 \, a \, x \, x_0 - a \, { x_0 }^2 + r \Big]$

Der Grenzwert des Nenners B ist besonders einfach, weil die roten Terme gegenüber q verschwinden:

(11)	$\lim_{ q \rightarrow \infty } B = \lim_{ q \rightarrow \infty } \Big[ \color{ red }{ a \, { ( x - x_0 ) }^2 + a \, { x_0 }^2 } + \color{ blue }{ q } \Big] = \lim_{ q \rightarrow \infty } \color{ blue }{ q }$

Setzen wir Zähler und Nenner wieder zusammen, so kann q gekürzt werden:

(12)	$\lim_{ q \rightarrow \infty } { A \over B } = \lim_{ q \rightarrow \infty } { \color{ blue }{ q } \, \left[ \mp \sqrt{ .. } + 2 \, a \, x \, x_0 - a \, { x_0 }^2 + r \right] \over \color{ blue }{ q } }$

und wir erhalten:

(13)	$\lim_{ q \rightarrow \infty } { A \over B } = \mp \sqrt{ { r }^2 - { ( x - x_0 ) }^2 } + 2 \, a \, x \, x_0 - a \, { x_0 }^2 + r$

Damit ergibt sich folgende Formel für die Ellipse:

(14)	$c_\mathrm{t}(x) = \lim_{ q \rightarrow \infty } { A \over B } + b$

(15)

$c_\mathrm{t}(x) = \mp \sqrt{ { r }^2 - { ( x - x_0 ) }^2 } + 2 \, a \, x \, x_0 - a \, { x_0 }^2 + r + b$

mit

$x_0 - |r| \le x \le x_0 + |r| \qquad\qquad r = { 1 \over 2 \, a }$

Analyse der Ellipsenfunktion

Betrachten wir die Ellipsen-Funktion (15) genauer, fällt auf, dass sie sich aus der Kreisfunktion (blau) und einer Geraden-Funktion (grün) zusammensetzt:

(16)	$c_\mathrm{t}(x) = \color{blue}{ \mp \sqrt{ { r }^2 - { ( x - x_0 ) }^2 } + r } + \color{green}{ 2 \, a \, x_0 \, x - a \, { x_0 }^2 + b }$

Die Gerade erhalte ich, wenn ich eine Gerade h(x) mit Steigung 2·a·x₀ durch den Punkt ( x₀ , y(x₀) ) lege:

(17)	$h(x) = \color{blue}{ 2 \, a \, x_0 \, (x - x_0) } + \color{green}{ y( x_0 ) } = \color{blue}{ 2 \, a \ x_0 \, x - 2 \, a \, {x_0}^2 } + \color{green}{ a \, {x_0}^2 + b }$

(18)	$h(x) = 2 \, a \, x_0 \, x - a \, { x_0 }^2 + b$

Diese Gerade ist die Tangente an die Parabel im Punkt P. Da die Kreisfunktion einfach zu dieser Tangente hinzu addiert wird und so zur Ellipse wird, haben die Parabel und die Ellipse im Punkt P dieselbe Tangente, also dieselbe Steigung bzw. erste Ableitung.

Hier noch der mathematische Beweis, dass die erste und zweite Ableitung der Parabel im Punkt P = ( x₀ , y(x₀) ) gleich sind.

Die ersten Ableitungen der unteren Hälfte der Ellipsenfunktion und der Parabel sind:

(19)	$c_\mathrm{t}^{\,\prime}( x ) = { ( x - x_0 ) \over \sqrt{ { r }^2 - { ( x - x_0 ) }^2 } } + 2 \, a \, x_0 \qquad\qquad y^{\,\prime}(x) = 2 \, a \, x$

Wenn wir für x = x₀ einsetzen, sehen wir, dass die Ableitungen der beiden Funktionen bei P gleich sind:

(20)	$c_\mathrm{t}^{\,\prime}(x_0) = 0 + 2 \, a \, x_0 = \color{blue}{ 2 \, a \, x_0 } \qquad\qquad y^{\,\prime}(x_0) = \color{blue}{ 2 \, a \, x_0 }$

Die zweiten Ableitungen der Ellipsenfunktion und der Parabel sind:

(21)	$c_\mathrm{t}^{\,\prime\prime}(x) = { { r }^2 \over { \left[ { r }^2 - { ( x - x_0 ) }^2 \right] }^{ 3 / 2 } } \qquad\qquad y^{\,\prime\prime}(x) = 2 \, a$

Wenn wir für x = x₀ einsetzen, sehen wir, dass die zweiten Ableitungen der beiden Funktionen bei P ebenfalls gleich sind:

(22)	$c_\mathrm{t}^{\,\prime\prime}(x_0) = { { r }^2 \over { \left[ { r }^2 \right] }^{ 3 / 2 } } = { 1 \over r } = \color{blue}{ 2 \, a } \qquad\qquad y^{\,\prime\prime}(x_0) = \color{blue}{ 2 \, a }$
weil	$r = { 1 \over 2 \, a }$

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