English: Can we see the Oblateness of the Earth on Satellite Images?

Die Form der Erde: Ellispoid

Würde sich die Erde nicht drehen, würde die Gravitation die Erde zu einer perfekten Kugel formen. Die Drehung um die Nord-Süd-Achse verursacht Zentrifugalkräfte senkrecht zu den Drehachsen nach aussen. Da die Erde unter der Kruste weitgehend flüssig ist, kann sie durch diese Kräfte deformiert werden und bildet eine leichte Abflachung an den Polen und eine leichte Ausbuchtung um den Äquator herum. Manche Leute nennen das Oblate-Spheroid. Der Fachbegriff ist Ellipsoid.

Geodätische Messungen zeigen, dass der Durchmesser von Pol zu Pol D_pol = 12 713,6 km und der Durchmesser am Äquator D_eq = 12 756,2 km ist [1]. Die Erde soll 42,6 km breiter als hoch sein. Das Verhältnis Breite / Höhe ist: D_eq / D_pol = 1,003 35.

Können wir diese Abplattung auf Satellitenaufnahmen aus dem Weltraum sehen? Lass es uns herausfinden.

Geeigente Satellitenaufnahmen wählen

Es gibt viele Wettersatelliten in geostationären Umlaufbahnen. Sie bleiben am gleichen Punkt über dem Äquator, weil ihr Orbit die gleiche Periode hat wie die Rotation der Erde. Einer der Neuesten ist der japanische Wetter-Satellit Himawari 9. Der Bildsensor hat eine Auflösung von 11 000×11 000 Pixel, das entspricht ungefähr 1 km/Pixel. Der Unterschied im Durchmesser von 42,6 km sollte also zu einem Unterschied von Breite zu Höhe von ca. 37 Pixeln führen. Dies sollte in einer Grafiksoftware wie Photoshop oder Gimp messbar sein.

Es gibt jedoch einige Probleme: Die Erde wird nicht immer von der Sonne genau von hinten beleuchtet, einer der Pole wird normalerweise nicht von der Sonne beleuchtet. Idealerweise müssen wir ein Bild finden, das zur Tagundnachtgleiche zu einer Zeit aufgenommen wurde, zu der die Sonne genau hinter dem Satelliten steht. Ein anderes Problem ist, dass die Atmosphäre keine scharfen Kanten hat und selbst 50−100 km dick ist. Auf RGB-Bildern ist es schwierig, eine Kante zu finden, mit der die Durchmesser genau gemessen werden können.

Aber zum Glück nehmen die Wettersatelliten auch Infrarotbilder von der Erde auf. In Infrarotbildern kann man unbeleuchtete Regionen sehen, weil die Erde Tag und Nacht Infrarotstrahlung aussendet und die Atmosphäre selbst transparent ist. So erhalten wir Infrarotbilder mit scharfen Kanten.

Die Infrarot-Bilder des Himawari-9 Satelliten haben eine Auflösung von 5500×5500 Pixel. Das sollte immer noch gut genug sein, um den Unterschied in den Durchmessern messen zu können. Mal schauen:

Ich wählte das folgende Infrarot-Bild des japanischen Himawari-9 Wetter-Satelliten:

Verkleinerte Version des Bildes himawari9_first_image_grs_B11.jpg

Quelle	http://www.jma.go.jp/jma/jma-eng/satellite/news/himawari89/20170124_himawari9_first_images.html
Bild-Url	http://www.jma-net.go.jp/sat/data/web89/parts89/himawari9_first_image/grs_l/B11_l.jpg
Band	11 (8,6 µm) Infrarot
Datum	24 Jan. 2017
Grösse	5500×5500 Pixel
Website	Meteorological Satellites-Japan Meteorological Agency (JMA) First images from Himawari-9 Japan Meteorological Agency
Beschreibung	Am 24. Januar 2017 um 02:40 UTC wurden die ersten Bilder mit allen 16 Bändern vom geostationären Wettersatellit Himawari-9 von JMA erfasst, der am 2. November 2016 gestartet wurde. Für mehr Informationen siehe: http://www.jma-net.go.jp/msc/en/support/index.html

Das oben gezeigte Bild ist die zugeschnittene Version vom Originalbild. Klicke hier, um das zugeschnittene Bild in voller Grösse in einem separaten Fenster zu erhalten, von dem du es herunterladen kannst. Öffne es dann in einem Bildeditor deiner Wahl (Gimp, Photoshop etc.). Setze den Zoomfaktor auf mehr als 1 ein (z.B. 4) und überprüfe, dass die Ränder der Erde den Rand des Bildes berühren. Überprüfe die Abmessungen des Bildes über den Eigenschaften-Dialog der Datei (Rechtsklick auf die heruntergeladene Datei und Eigenschaften...).

Resultat

Ich habe das Originalbild in Gimp geöffnet und so beschnitten, dass die Ränder der Erde den Rand des Bildes berühren. Die Bildabmessungen sollten nun proportional zur tatsächlichen Dimension der Erde sein:

Wir können sehen, dass die hochauflösenden Bilder von Satelliten die reale Form der Erde genau zeigen, innerhalb des möglichen Ablesefehlers von ±1 Pixel. Die Abplattung kann aus diesen Bildern gemessen werden und entspricht den gemessenen Werten aus der Geodäsie. Aber die Abplattung ist zu klein, um mit blossem Auge erkannt zu werden.

Fehler-Abschätzung

Wir haben eine Breite w und eine Höhe h in Pixel mit einem Fehlerbereich von ±1 Pixel und wollen den Fehlerbereich von w / h berechnen. Ich zeige wie das gemacht wird:

Als erstes drücken wir die Variablen zusammen mit ihren relativen Fehlerbereichen ε_w und ε_h aus:

• w → w · (1 ± ε_w)
• h → h · (1 ± ε_h)

Nun berechnen wir den Quatienten w / h zusammen mit ihren Fehlerbereichen:

Wir brauchen eine Methode, um ε_tot aus ε_w und ε_h zu berechnen. Dazu bringen wir den Fehlerbereich im Nenner in dieselbe Form wie im Zähler:

Weil ε_h viel kleiner als 1 ist, erhalten wir (1 ± ε_h) ≈ 1 und wir können vereinfachen zu:

Unsere Fehlerabschätzung (1) sieht nun wiefolgt aus:

Wenn wir die beiden letzten Terme ausmultiplizieren erhalten wir:

Das Produkt von ε_h · ε_w is immer viel kleiner als die einzelnen Zahlen, sodass es eine gute Näherung ist, diese zu ignorieren:

Wenn wir also 2 Zahlen mit Fehlerbereichen durch einander dividieren, addieren sich ihre Fehlerbereiche.

Wir können nun den Fehlerbereich unserer Messung berechnen:

• ε_w = ε_h = 1 / 5500, weil w ≈ h ≈ 5500 · (1 ± 1/5500) = 5500 ± 1
• ε_tot = ε_w + ε_h = 2 / 5500

Zusammenfassung: Die Abplattung der Erde, gemessen aus dem Satellitenbild, ist gleich der Abplattung, die wir durch geodätische Messungen erhalte, innerhalb des Fehlerbereiches von ±1 Pixel, siehe Resultat.

Wie stark ist die Zentrifugalkraft im Vergleich zur Gravitation?

Die Erde rotiert mit einer tangentialen Geschwindigkeit am Äquator von 1668 km/h. Sollte dies die Erde nicht auseinander reissen?

Die Antwort ist nein. Die Tangentialgeschwindigkeit ist irrelevant. Die Ursache der Abplattung der Erde ist nur die Zentrifugalbeschleunigung. Die Zentrifugalbeschleunigung ist klein im Vergleich zur Erdbeschleunigung. Berechnen wir diese Beschleunigungen und vergleichen sie miteinander:

Die exakte Stärke der Erdanziehung variiert je nach Standort. Der nominale "Durchschnittswert" an der Erdoberfläche, bekannt als Standardschwerkraft, ist per Definition [2]: 9,806 65 m/s².

Die Gravitation ist eine Beschleunigung, die in Richtung Zentrum der Erde wirkt. Ihre Stärke hängt von der Masse der Erde und der Entfernung vom Erdmittelpunkt ab und kann berechnet werden als:

(8)	$$g = { G \cdot M_\mathrm{E} \over R^2 } \approx 9{,}806\,65\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$$
wobei'	$g$ ' =' 'Gravitations-Beschleunigung im Abstand R vom Zentrum der Erde $G$ ' =' '6,674 08 ·10−11 m3/(kg·s2) = Gravitationskonstante $M_\mathrm{E}$ ' =' '5,972 37 ·1024 kg = Masse der Erde $R$ ' =' 'Distanz vom Zentrum der Erde

Die Zentrifugal-Beschleunigung hängt vom Breitengrad ab, ist 0 an den Polen und maximal am Äquator:

Am Äquator ist der Radius R = 6378,1 km und cos(φ) = 1. Die Zentrifugal-Beschleunigung am Äquator ist somit:

Die maximale Zentrifugalbeschleunigung am Äquator beträgt also nur 0,344 % der mittleren Erdbeschleunigung. Dies verursacht nur eine sehr kleine Ausbuchtung am Äquator von 21,3 km.

Quellen

[1]

Erde; Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Erde

[2]

physics.nist.gov (PDF); The international system of units (SI); United States Department of Commerce, NIST; Special Publication 330; edition 2008; page 51
http://physics.nist.gov/Pubs/SP330/sp330.pdf