Berechnung der grünen Kurve

Masse für die Berechnung der x, y Werte der grünen Kurve der Animation

Die grüne Kurve in der Animation oben entspricht dem Weg, den der grüne Punkt auf dem Schieber zurücklegt, während die Kurbel einmal um 360 Grad gedreht wird. Diese Kurve hängt von den einstellbaren Parametern a, d und r ab.

Für die Berechnung der Koordinaten x(α) und y(α) können wir uns an der Skizze orientieren. Der Nullpunkt des Koordinatensystems liegt beim Winkel α. Wir können folgende Verhältnisse ablesen:

Die Formel rechts von (2) können wir nach x auflösen:

Berechnung des Krümmungskreises

Um den Krümmungskreis an einen bestimmten Punkt der grünen Kurve mit den Formeln für Krümmungskreise berechnen zu können, brauchen wir die erste und zweite Ableitung der Funktionen von (3). Diese Ableitungen können theoretisch analytisch berechnet werden. Sie werden jedoch extrem kompliziert und unübersichtlich. Gar nicht zu reden, wenn diese Ableitungen noch in die Krümmungs-Formeln eingesetzt werden müssen. Selbst mein CAS-Programm war damit überfordert.

Da wir in der Animation bei jedem Frame nur einen Krümmungskreis an einen bestimmten Punkt berechnen müssen, können wir die Ableitungen aber auch numerisch für diesen Punkt berechnen. Dabei berechnen wir mit den Formeln (3) den Punkt auf der grünen Kurve, der einem bestimmten Winkel α entspricht. Durch Berechnen weiterer Punkte in unmittelbarer Nähe Δα können wir die Ableitungen approximieren.

Die Ableitungen von x(α) und y(α) können mit folgenden Formeln approximiert werden:

Je kleiner Δα gewählt wird, umso genauer werden die Werte der Ableitungen. Allzu kleine Werte können jedoch die Genauigkeit wieder zunichte machen, weil sich Rundungsfehler bemerkbar machen. Ich habe einen Wert von Δα = 0,000 01 gewählt.