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Krümmungskreis an Funktionen

Freitag, 31. Juli 2015 - 00:27 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Geometrie

Aus den allgemeinen Formeln für Krümmungskreise an 2D-Kurven können die Formeln für Krümmungskreise an Funktionen einfach hergeleitet werden.

Allgemeine Formeln für Krümmungskreise an eine 2D-Kurve

Die folgenden Formeln sind auf der Seite Krümmungskreis an 2D-Kurve hergeleitet worden:

(1)

$R(t) = { 1 \over \kappa(t) } = { { \left[ { \dot x(t) }^2 + { \dot y(t) }^2 \right] }^{ 3 / 2 } \over \dot x(t) \, \ddot y(t) - \ddot x(t) \, \dot y(t) }$

(2)

$Z_x (t) = x(t) - R(t) \, { \dot y(t) \over \sqrt{ { \dot x(t) }^2 + { \dot y(t) }^2 } }$

(3)

$Z_y(t) = y(t) + R(t) \, { \dot x(t) \over \sqrt{ { \dot x(t) }^2 + { \dot y(t) }^2 } }$

wobei^'

$x(t), y(t)$ ^'	=^'	^'In parametrischer Form vorliegende 2D-Kurve
$R(t)$ ^'	=^'	^'Radius des Krümmungskreises, der den Punkt ( x(t) , y(t) ) berührt
$Z_x(t)$ ^'	=^'	^'X-Koordinate des Zentrums des Krümmungskreises, der den Punkt ( x(t) , y(t) ) berührt
$Z_y(t)$ ^'	=^'	^'Y-Koordinate des Zentrums des Krümmungskreises, der den Punkt ( x(t) , y(t) ) berührt

Herleitung der Formeln für Krümmungskreise an Funktionen

Eine Funktion liege in der Form y = f(x) vor. Indem wir die Funktion in eine einfache parametrische Form bringen, können wir diese in obige Fomeln einsetzen. Dazu machen wir folgenden Substitutionen:

(4)	$x(t) = t \qquad \dot x(t) = 1 \qquad \ddot x(t) = 0$

(5)	$y = f(x) \quad \rightarrow \quad y(t) = f(t) \qquad \dot y(t) = { \mathrm{d} y(t) \over \mathrm{d} t } \qquad \ddot y(t) = { \mathrm{d}^{2} y(t) \over { \mathrm{d} t }^2 }$

Durch Einsetzen in obige Formeln erhalten wir:

(6)	$R(t) = \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} y(t) \over \mathrm{d} t } \right) }^2 \right]^{ 3 / 2 } { \left[ { \mathrm{d}^{2} y(t) \over { \mathrm{d} t }^2 } \right] }^{-1}$

(7)	$Z_x(t) = t - R(t) { \mathrm{d} y(t) \over \mathrm{d} t } \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} y(t) \over \mathrm{d} t } \right) }^2 \right]^{ -1 / 2 }$

(8)	$Z_y(t) = y(t) + R(t) \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} y(t) \over \mathrm{d} t } \right) }^2 \right]^{ -1/2 }$

Rücksubstitution von t → x, y(t) → f(x) ergibt die folgenden Formeln, wobei der Krümmungskreis die Funktion an der Stelle ( x₀ , f(x₀) ) berührt:

Formeln für Krümmungskreise an Funktionen

(9)

$R(x_0) = \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} f(x_0) \over \mathrm{d} x } \right) }^2 \right]^{ 3 / 2 } { \left[ { \mathrm{d}^{2} f(x_0) \over { \mathrm{d} x }^2 } \right] }^{-1}$

(10)

$Z_x(x_0) = x_0 - R(x_0) { \mathrm{d} f(x_0) \over \mathrm{d} x } \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} f(x_0) \over \mathrm{d} x } \right) }^2 \right]^{ -1 / 2 }$

(11)

$Z_y(x_0) = f(x_0) + R(x_0) \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} f(x_0) \over \mathrm{d} x } \right) }^2 \right]^{ -1/2 }$

wobei^'

$x_0$ ^'	=^'	^'X-Koordinate des Berührungspunktes
$f(x_0)$ ^'	=^'	^'Y-Koordinate des Berührungspunktes
$R(x_0)$ ^'	=^'	^'Radius des Krümmungskreises für den Berührungspunkt bei x₀
$Z_x(x_0)$ ^'	=^'	^'X-Koordinate des Zentrums des Krümmungskreises für den Berührungspunkt bei x₀
$Z_y(x_0)$ ^'	=^'	^'Y-Koordinate des Zentrums des Krümmungskreises für den Berührungspunkt bei x₀

Die Formel für den Berührungskreis in der Form y = c(x) lautet:

(12)

$c(x) = Z_y(x_0) \mp \sqrt{ { R(x_0) }^2 - { \left( x - Z_x(x_0) \right) }^2 }$

mit

$x_0 - R(x_0) \le x \le x_0 + R(x_0)$

In dieser Form besteht der Krümmungskreis aus einer unteren und oberen Hälfte, daher das ∓ vor der Wurzel. Formel (12) steht also für zwei separate Formeln in einer Formel kombiniert.

Beispiel: Krümmungskreis an Parabel

Als Beispiel möchte ich die Formeln für Krümmungskreise an eine Parabel-Funktion berechnen. Die Parabel-Funktion und deren Ableitungen sind:

(13)	$y = f(x) = a \, { x }^2 + b \qquad\qquad y^{\,\prime} = { \mathrm{d} f(x) \over \mathrm{d} x } = 2 \, a \, x \qquad\qquad y^{\,\prime\prime} = { \mathrm{d}^2 f(x) \over \mathrm{d} x^2 } = 2 \, a$

Setze ich diese Formeln in die oben hergeleiteten Funktionen (9) ein, erhalte ich:

(14)

$R(x_0) = \left[ 1 + { ( 2 \, a \, x_0 ) }^2 \right]^{ 3/2 } { 1 \over 2 \, a }$

(15)	$Z_x(x_0) = x_0 - R(x_0) { \, 2 \, a \, x_0 \over \sqrt{ 1 + { ( 2 \, a \, x_0 ) }^2 } } = x_0 - x_0 \left[ 1 + { ( 2 \, a \, x_0 ) }^2 \right]$

(16)

$Z_\mathrm{x}(x_0) = -4 \, a^2 \, { x_0 }^3$

(17)	$Z_y(x_0) = f(x_0) + R(x_0) { 1 \over \sqrt{ 1 + { ( 2 \, a \, x_0 ) }^2 } } = a \, { x_0 }^2 + b + { 1 + { ( 2 \, a \, x_0 ) }^2 \over 2 \, a }$

(18)

$Z_\mathrm{y}(x_0) = 3 \, a \, { x_0 }^2 + b + { 1 \over 2 \, a }$

Zum Vergleich: Auf der Seite Unverzerrter Kreis an Parabel wurden dieselben Formeln direkt für Funktionen der Form y = f(x) hergeleitet.

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