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Kreise an Hyperbel

Mittwoch, 19. Oktober 2016 - 01:44 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Animation, Interaktiv

Auf dieser Seite wende ich die unter Formeln für Krümmungskreise an Funktionen ( Ziel-Seite

Unverzerrter Kreis an Parabel) gefundenen Formeln für einen Kreis an eine beliebige Funktion auf eine Hyperbel an.

Hyperbelfunktion

Die Hyperbelfunktion in der 1. Hauptlage lautet:

(1)

${ x^2 \over a^2 } - { y^2 \over b^2 } = 1$

Für unsere Aufgabe brauche ich die Hyperbel als Funktion $y = f(x)$ :

(2)

$y = \pm b \, \sqrt{ { { x }^2 \over { a }^2 } - 1 }$

mit

$b = \sqrt{ e^2 - a^2 }$

für

$x \ge a$ und $x \le -a$ und $a \gt 0$ und $e \gt a$

wobei^'

$a$ ^'	=^'	^'Abstand vom Nullpunkt zu den Scheitelpunkten
$e$ ^'	=^'	^'Abstand vom Nullpunkt zu den Brennpunkten

Zur Berechnung der Kreise an die Hyperbel benötige ich die erste und zweite Ableitung:

(3)	$y^{\,\prime} = \pm { b \cdot x \over a \cdot \sqrt{ { x }^2 - { a }^2 } }$

(4)	$y^{\,\prime\prime} = \mp { { a }^2 \cdot b \over a \cdot { \left( { x }^2 - { a }^2 \right) }^{ 3 / 2 } }$

Die Ableitungen habe ich mit einem CAS (Computer-Algebra-System) berechnet.

Formel für Kreis an Hyperbel

Die Hyperbel ist bezüglich der X-Achse spiegelsymmetrisch. Daher gibt es zwei gespiegelte Kreise an die Hyperbel. Die Formeln für die Kreise lauten:

(5)

$R = { { \left( 1 + { y' }^2 \right) }^{ 3 / 2 } \over y'' }$

(6)

$Z_x = x - { R(x) \cdot y^{\,\prime} \over \sqrt{ 1 + { y^{\,\prime} }^2 } } = x - { \left( 1 + { y^{\,\prime} }^2 \right) \cdot y^{\,\prime} \over y^{\,\prime\prime} }$

(7)

$Z_y = y + { R(x) \over \sqrt{ 1 + { y^{\,\prime} }^2 } } = y + { 1 + { y^{\,\prime} }^2 \over y^{\,\prime\prime} }$

Und einsetzen der Hyperbelfunktionen ergibt:

(8)	$R(x) = { { \left[ 1 + { y^{\,\prime} }^2 \right] }^{ 3 / 2 } \over y^{\,\prime\prime} } = \mp { { \left[ ( { a }^2 + { b }^2 ) \cdot { x }^2 - { a }^{ 4 } \right] }^{ 3 / 2 } \over { a }^{ 4 } \cdot b }$

(9)	$Z_x(x) = x - { \left( 1 + { y^{\,\prime} }^2 \right) \cdot y^{\,\prime} \over y^{\,\prime\prime} } = { ( { a }^2 + { b }^2 ) \cdot { x }^{ 3 } \over { a }^{ 4 } }$

(10)	$Z_y(x) = y + { 1 + { y^{\,\prime} }^2 \over y^{\,\prime\prime} } = \mp { ( { a }^2 + { b }^2 ) \cdot { ( { x }^2 - { a }^2 ) }^{ 3 / 2 } \over { a }^{ 3 } \cdot b }$
für	$x \ge a$ und $x \le -a$

Animation

Anmerkung: Die Kreise werden für grössere X-Werte schnell extrem gross. Die Grafik-Module sind mit Kreisen, deren Radien ein Vielfaches der Zeichenfläche ist, teilweise überfordert. In meinem Grafik-Modul erzeuge ich ein Polygon für die Kreise, wobei der Start-/Endpunkt des Kreis-Polygons der Berührungspunkt des Kreises mit der Hyperbel ist. Dadurch bekomme ich stabile Darstellungen der grossen Kreise und die Berührungspunkte sind exakt.

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