Gegeben sind die zwei logistischen Funktionen
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Gesucht sind jeweils die ersten Bifurkationsstellen für
Was eine logistische Funktion, ein Feigenbaumdiagramm und eine Bifurkationsstelle ist und wie die Lösung für die Aufgabe (1) gefunden werden kann, habe ich in Analytische Lösung für die erste Bifurkationsstelle im Feigenbaumdiagramm aufgezeigt.
Auf dieser Seite zeige ich analog kurz den Lösungsweg für die Aufgabe (2).
Der Lösungsweg für beide Aufgaben ist mehr oder weniger identisch. Sie unterscheiden sich lediglich im Arbeitsaufwand etwas, da die Polynome der Aufgabe (2) grösser sind, als bei Aufgabe (1):
In jenem Bereich von
Zunächst bringe ich (2) in Polynom-Form:
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Wenn ich für den Wert des Attraktors
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Um die Lösungen
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P1 |
Durch lösen der quadratischen Gleichung (5) erhalten wir zwei Lösungen:
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Im Gegensatz zur Aufgabe (1) ist hier die erste Lösung (Minus-Zeichen)
Auch in Aufgabe (2) interessiert die Lösung
Beachte, dass der Wertebereich von
Wie in Analytische Lösung für die erste Bifurkationsstelle im Feigenbaumdiagramm gezeigt wird die Gleichung für die alternierenden Attraktoren
(7) |
(8) |
Und weil wir beim Einsetzen von (8) in (7) das Quadrat von
(9) |
Nach Einsetzen von (8) und (9) in (7), ausmultiplizieren, alle
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P2 |
Dieses Polynom hat für bestimmte Bereiche von
Beachte:
Um die beiden Lösungen
(11) |
Um die Nullstellen zu finden, setzen wir (11) gleich Null. Nach dem Normalisieren (beide Seiten durch
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Das Lösen der quadratischen Gleichung (12) ergibt die Gleichungen für die beiden Attraktoren
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Dort, wo die beiden Attraktoren aus (13) denselben Wert haben, sich also mit dem ersten Attraktor treffen, ist der Wert unter der Wurzel von (13) gleich Null. Denn nur in diesem Fall erhalten wir denselben Wert für
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Wenn wir also berechnen, bei welchem
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Wie in der Aufgabe (1) interessiert uns nur die Lösung
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Beachte: Für