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Mathematisches Modell des Turbofan Triebwerks

Dienstag, 17. Juli 2012 - 19:06 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Physik, Aviatik

Auf den vorherigen Seiten habe ich alle nötigen Formeln und Zusammenhänge für ein einfaches Modell eines Turbofan-Triebwerks erarbeitet. Hier fasse ich alles zusammen.

Kenndaten des CFM56-5A3 Triebwerks

Aus dem Datenblatt eines Triebwerks können folgende Grössen gelesen werden:

F_max

Maximaler Schub

117,9 kN

$\dot m_{0,\mathrm{max}}$

Totaler Luftmassenfluss (Masse pro Zeit)

397,3 kg/s

Bypass ratio: Aufteilung des Massenflusses

Aus dem Flugsimulator FSX und dem Internet stammen folgende Daten:

N_1,max

Maximale Drehzahl der Niederdruckwelle

1,0

N_1,idle

Leerlaufdrehzahl der Niederdruckwelle

0,215

N_1,max,rev

Maximale Drehzahl der Niederdruckwelle bei Gegenschub [1] [2]

0,80

N_2,max

Drehzahl der Hochdruckwelle bei N_1,max

0,972

N_2,idle

Drehzahl der Hochdruckwelle bei N_1,idle

0,607

F_idle

Leerlaufschub des Triebwerks

3,5 kN

Abstrahlwinkel des Sekundärstromes bei Gegenschub

60°

v_1,max

Strömungsgeschwindigkeit der Luft aus dem Kerntriebwerk bei Vollschub

343 m/s

Gesucht

F(N₁,v₀)

Schub in Abhängigkeit der Drehzahl N₁ und der Geschwindigkeit des Flugzeugs v₀

F_rev(N₁,v₀)

Gegenschub in Abhängigkeit der Drehzahl N₁ und der Geschwindigkeit des Flugzeugs v₀

Das Triebwerksmodell liefert weiterhin die folgenden Grössen:

N₂(N₁)

Drehzahl der Hochdruckwelle in Abhängigkeit der Drehzahl der Niederdruckwelle

F₁(N₁)

Schub des Kerntriebwerks

F₂(N₁)

Schub des Fan

$\dot m_1(N_1)$

Massenfluss durch das Kerntriebwerk

$\dot m_2(N_1)$

Massenfluss durch den Fan

v₁(N₁)

Strömungsgeschwindigkeit der Luft beim Austritt aus dem Kerntriebwerk

v₂(N₁)

Strömungsgeschwindigkeit der Luft hinter dem Fan

μ(N₁)

Bypass ratio in Abhängigkeit der Drehzahl

k_v(N₁)

Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeiten v₂ / v₁

Vereinfachungen und Annahmen

Die folgenden Annahmen und Vereinfachungen wurden für das Triebwerk-Modell getroffen:

Der Druck in der primären Schubdüse entspricht dem Umgebungsdruck
Die Massenstromanteile von Brennstoff und Zapfluft werden vernachlässigt
Die Austrittsgeschwindigkeit der Luft aus dem Kerntriebwerk sei maximal Schallgeschwindigkeit
Der Leerlaufschub des Triebwerks reicht aus, ein nicht voll beladenes Flugzeug in Fahrt zu setzen, d.h. der Leerlaufschub ist grösser als der Rollwiderstand
Zwischen Schub und Drehzahl besteht ein exponentieller Zusammenhang
Zwischen den Drehzahlen N₁ und N₂ besteht ein linearer Zusammenhang
Zwischen Luftmassenstrom und Drehzahl besteht ein linearer Zusammenhang
Zwischen dem Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeiten und der Drehzahl besteht ein linearer Zusammenhang und das Verhältnis strebt für kleine Drehzahl gegen 1

Triebwerk-Parameter

Die folgenden Parameter werden für das Triebwerksmodell intern berechnet:

k, r

Parameter der Exponentialfunktion für F(N₁)

k₁, r₁

Parameter der Exponentialfunktion für F₁(N₂)

a, b

Parameter für Zusammenhang zwischen N₁ und N₂

k_m1

Parameter für Zusammenhang zwischen N₂ und $\dot m_1$

k_m2

Parameter für Zusammenhang zwischen N₁ und $\dot m_2$

k_v,max

Parameter für Zusammenhang zwischen N₁ und Strömungsverhältnis

Formeln

Nachfolgend eine Zusammenstellung der verwendeten Formeln für das Triebwerks-Modell:

Schub und Gegenschub

Für die Berechnung der Schübe unter Berücksichtigung der Geschwindigkeit des Flugzeugs können nicht die Formeln für die Schubkräfte verwendet werden, sondern es müssen die Luftmassenströme und -geschwindigkeiten berücksichtigt werden:

(1)	$F(N_1,v_0) = \dot m_1 \cdot (v_1 - v_0) + \dot m_2 \cdot (v_2 - v_0)$
(2)	$F_\mathrm{rev}(N_1,v_0) = \dot m_1 \cdot (v_1 - v_0) - \dot m_2 \cdot ( \cos\theta \cdot v_2 + v_0)$

Berechnung von Schub und Gegenschub

Schubkräfte

Die folgenden Formeln berechnen die einzelnen Schubkräfte für ein stillstehendes Flugzeug v₀ = 0:

(3)	$F(N_1) = k \cdot \left( \mathrm{e}^{N_1/r} - 1 \right) \cdot F_\mathrm{max}$

(4)	$F_1(N_1) = k_1 \cdot \left( \mathrm{e}^{N_2/r_1} - 1 \right) \cdot F_{1,\mathrm{max}} = k_1 \cdot \left( \mathrm{e}^{( a \cdot N_1 + b) /r_1} - 1 \right) \cdot F_{1,\mathrm{max}}$

(5)	$F_2(N_1) = F(N_1) - F_1(N_1)$

(6)	$F_{1,\mathrm{max}} = \dot m_{1,\mathrm{max}} \cdot v_{1,\mathrm{max}}$

Drehzahl und Schub

Die Parameter k und k₁ können nur numerisch berechnet werden. Die Parameter r und r₁ können danach wiefolgt berechnet werden:

(7)	$r = { N_1 \over \ln \left( {F(N_1) \over k} + 1 \right) } \qquad\qquad r_1 = { N_2 \over \ln \left( {F_1(N_2) \over k_1} + 1 \right) }$

Berechnung der Kurvenparameter k und r ( Ziel-Seite Drehzahl und Schub)

Berechnung der Kurvenparameter k1 und r1 ( Ziel-Seite Schub des Kerntriebwerks)

Drehzahlen

(8)	$N_2 = a \cdot N_1 + b$

(9)	$a = { ( N_{2,\mathrm{max}} - N_{2,\mathrm{idle}} ) \over ( N_{1,\mathrm{max}} - N_{1,\mathrm{idle}} ) }$
(10)	$b = N_{2,\mathrm{idle}} - a \cdot N_{1,\mathrm{idle}}$

Drehzahl von Fan und Kerntriebwerk

Massenflüsse

(11)	$\dot m_1(N_1) = k_\mathrm{m1} \cdot N_2 = k_\mathrm{m1} \cdot (a \cdot N_1 + b)$
(12)	$\dot m_2(N_1) = k_\mathrm{m2} \cdot N_1$

(13)	$\dot m_{1,\mathrm{max}} = \dot m_{0,\mathrm{max}} \cdot {1 \over \mu + 1}$
(14)	$\dot m_{2,\mathrm{max}} = \dot m_{0,\mathrm{max}} \cdot { \mu \over \mu + 1}$

(15)	$k_\mathrm{m1} = { \dot m_{1,\mathrm{max}} \over a \cdot N_{1,\mathrm{max}} + b} = { \dot m_{0,\mathrm{max}} \over (\mu + 1) \cdot (a + b) }$
(16)	$k_\mathrm{m2} = { \dot m_{2,\mathrm{max}} \over N_{1,\mathrm{max}} } = { \dot m_{0,\mathrm{max}} \cdot \mu \over (\mu + 1) }$

Drehzahl und Luftmassenströme

(17)	$\mu(N_1) = { \dot m_2(N_1) \over \dot m_1(N_1) } = { \mu \cdot N_1 \cdot (a + b) \over a \cdot N_1 + b }$

Strömungsgeschwindigkeiten

Die Strömungsgeschwindigkeiten können aus den obigen Formeln berechnet werden:

(18)	$v_1(N_1) = { F_1(N_1) \over \dot m_1(N_1) }$
(19)	$v_2(N_1) = { F_2(N_1) \over \dot m_2(N_1) }$

(20)	$k_\mathrm{v}(N_1) = { v_2(N_1) \over v_1(N_1) }$

Für die initiale Berechnung der Parameter k₁ und r₁ zur Berechnung von F₁ werden folgende Formeln verwendet:

(21)	$v_1(N_1) = { k \cdot \left( \mathrm{e}^{N_1/r} - 1 \right) \cdot F_\mathrm{max} \over k_\mathrm{m1} \cdot (a \cdot N_1 + b) + k_\mathrm{m2} \cdot N_1 \cdot k_\mathrm{v}(N_1) }$
(22)	$v_2(N_1) = k_\mathrm{v}(N_1) \cdot v_1(N_1)$

(23)	$k_\mathrm{v}(N_1) = k_\mathrm{v1} \cdot N_1 + k_\mathrm{v2} = (k_{\mathrm{v},\mathrm{max}} - 1) \cdot N_1 + 1$
(24)	$k_{\mathrm{v},\mathrm{max}} = { v_{2,\mathrm{max}} \over v_{1,\mathrm{max}} } = { F_\mathrm{max} \cdot (1 + \mu) \over \dot m_{0,\mathrm{max}} \cdot \mu \cdot v_{1,\mathrm{max}} } - { 1 \over \mu }$

Drehzahl und Strömungsgeschwindigkeiten

Quellen

[1]

737 reverse thrust effectiveness at Detent No 2

; Analyser; Forum PPRuNe
Maximum reverse thrust and N1 is from 80-84%. One detent lesser than this and N1 is from 72-75%.These are approximate values.
http://www.pprune.org/tech-log/409842-737-reverse-thrust-effectiveness-detent-no-2-a.html

[2]

How To Fly An Airbus

; 21.03.2012
The Maximum reverse thrust is obtained between N1 values of 70% to 85%.
http://www.a320typerating.com/howtoflyanairbus.html

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