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Rainy Lake Experiment: Messen der Refraktion

Terrestrische Refraktion

Refraktion ist ein wichtiger Faktor bei der Beobachtung entfernter Objekte. Refraktion ändert die scheinbare vertikale Position in Bezug auf eine Referenzlinie wie Augenhöhe. Da es beim Rainy Lake Experiment um die relative vertikale Position der Zieltafeln geht, muss die Refraktion berücksichtigt werden.

Sprechen wir also darüber, wie die Refraktion funktioniert und berechnet werden kann:

Licht breitet sich in transparenten Medien mit geringerer Geschwindigkeit aus als im Vakuum. [1] Der Betrag der Verlangsamung wird durch den Brechungsindex n = c/v ausgedrückt, wobei v die Lichtgeschwindigkeit im Medium und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Trifft Licht auf eine Änderung des Brechungsindex und die Grenze der Änderung ist nicht senkrecht zur Richtung des Lichtstrahls, ändert sich die Richtung des Lichtstrahls an der Grenze, immer in Richtung des höheren Brechungsindex. Wir können Snell'sches Brechungsgesetz verwenden, um die Winkel des Lichtstrahls bezüglich der Senkrechten auf die Grenzschicht zu berechnen.

Die Dichte der Atmosphäre nimmt im Allgemeinen mit zunehmender Höhe exponentiell ab. Der Brechungsindex ist proportional zur Dichte. Da die Dichteänderung nicht abrupt, sondern kontinuierlich ist, ändern die Lichtstrahlen ihre Richtung nicht plötzlich, sondern werden in einem Bogen zum dichteren Teil der Atmosphäre, der normalerweise nach unten gerichtet ist, gebogen. Dies gilt sogar für Lichtstrahlen, die senkrecht zum Dichtegradienten beginnen, also horizontal in der Atmosphäre. Das bedeutet, dass Objekte in der Ferne höher erscheinen als bei gerader Sichtlinie, weil die gebogenen Lichtstrahlen von Objekten von weiter oben auf den Beobachter treffen.

Bild 26: Refraktions-Winkel und Messungen

Refraktion ist kein konstantes Phänomen. Sie hängt stark von den aktuellen atmosphärischen Bedingungen entlang des Strahlengangs ab und schwankt daher auf dem Weg zum Beobachter. Da es schwierig (aber nicht unmöglich) ist, die tatsächliche Refraktion vom Objekt zum Beobachter zu messen, erhält man zumindest für kürzere Distanzen von nur einigen Kilometern einen Mittelwert, der aus den atmosphärischen Bedingungen am Standort des Beobachters berechnet werden kann. Diese Werte können aber auch für längere Distanzen verwendet werden, wenn ähnliche Bedingungen entlang des Strahlengangs herrschen. Der Mittelwert entspricht einem Lichtstrahl, der einem Bogen konstanten Radius RR folgt.

Die atmosphärische Refraktion kann mit verschiedenen Werten ausgedrückt werden. Einige sind unabhängig von der Entfernung des beobachteten Objekts, wie der Refraktions-Koeffizient und der Refraktions-Faktor. Andere, wie der Refraktions-Winkel und die Scheinbare Anhebung durch Refrakion hängen von der Entfernung zum Objekt ab.

Refraktions-Koeffizient

Der Refraktions-Koeffizient k, oft einfach Refraktion genannt, ist definiert als das Verhältnis des mittleren Radius der Erde R zum Krümmungsradius der gebogenen Lichtstrahlen (/R_$R/ ):

(1)

per Definition

wobei'
' =' 'Refraktions-Koeffizient
' =' '6371 km = mittlerer Radius der Erde
' =' 'Radius eines gekrümmten Lichtstrahls von einem Objekt zu, Beobachter km

Wenn die Lichtstrahlen nicht gekrümmt sind, ist ihr Radius RR unendlich. Dies bedeutet, dass für gerade Lichtstrahlen der Refraktions-Koeffizient k = 0 ist. Folgen die Lichtstrahlen der Erdkrümmung, was durchaus möglich ist, dann ist k1. In diesem Fall erscheint die Erde flach oder sogar konkav, siehe Starke Refraktion.

Hinweis: Das Vorkommen des Erdradius in der Definition des Refraktions-Koeffizienten hat keinen Einfluss auf die Refraktion selbst. Es ist einfach eine bequeme Definition und funktioniert für jede Form der Erde gleich, denn die einzige Variable, die von der Refraktion abhängt, ist der Krümmungsradius des Lichtstrahls, nicht die Form der Erde.

Standard Refraktion: Die Atmosphäre hat im Durchschnitt einen bestimmten Druck-, Temperatur- und Dichtegradienten. Dieser Durchschnitt wird als International Standard Atmosphere oder Normatmosphäre bezeichnet. Unter normalen atmosphärischen Bedingungen wird die Refraktion als Standard Refraktion bezeichnet.

Für Standard Refraktion wird in der Vermessung häufig ein Wert von k = 0,13 verwendet. Ein anderer häufig verwendeter Wert geht von einem Krümmungsradius für Lichtstrahlen von RR = 7 · R aus, was einem Refraktions-Koeffizienten von k = 0,14 oder einem Refraktions-Faktor a = 7/6 entspricht. Die folgende Gleichung ergibt einen Refraktions-Koeffizienten von k = 0,17 auf Meereshöhe, der mit der Höhe abnimmt.

Der Unterschied in der scheinbaren Anhebung des beobachteten Objekts ist zwischen den verschiedenen Werten für die Standard Refraktion zwischen k = 0,13 und k = 0,17 gering: für eine Höhenmessung eines Ziels in einer Entfernung von 1000 m ist der Unterschied der scheinbaren Anhebung nur etwa 3 mm, während der Abfall aufgrund der Erdkrümmung 78 mm beträgt. Die scheinbare Anhebung (looming) eines Objektes bei 1000 m bei k = 0,17 beträgt 13 mm, was 1/6 des Krümmungsabfalls entspricht. Weil das Objekt 1/6 des effektiven Abfalls durch looming auf 65 mm Abfall angehoben erscheint, dies ist der scheinbare Abfall, müssen wir optische Messungen korrigieren, indem wir sie mit 6/5 = 1,2 multiplizieren, um den tatsächlichen Abfall zu erhalten: 1,2 · 65 mm = 78 mm effektiver Abfall.

Der Refraktions-Koeffizient kann aus Luftdruck, Temperatur und Temperaturgradient wie folgt berechnet werden:

(2)
siehe

Deriving Equations for Atmospheric Refraction

wobei'
' =' 'Refraktions-Koeffizient
' =' 'Luftdruck beim Beobachter in mbar oder hPa oder 1/100 Pa, Standard = 1013,25 mbar
' =' 'Temperatur beim Beobachter in Kelvin, Standard = 288,15 K = 15°C
' =' 'Temperaturgradient beim Beobachter in K/m oder °C/m, Standard = −0,0065°C/m

Der Refraktions-Koeffizient nimmt mit zunehmender Höhe aufgrund des sinkenden Luftdrucks ab. Die Refraktion ist sehr empfindlich gegenüber dem Temperaturgradienten, d.h. kleinen Änderungen der Temperatur im Höhenbereich des Lichtstrahls. Nahe der Oberfläche kann sich die Refraktion erheblich ändern, wenn die Oberflächentemperatur von der Tempertur der Luft darüber abweicht, was fast immer der Fall ist.

Oberhalb einer Oberfläche, die kühler ist als die Luft (Eis, Wasser), können leicht Refraktions-Koeffizienten grösser k = 1 erreicht werden, was bedeutet, dass Lichtstrahlen Hunderte von Kilometern der Erdkrümmung folgen. Lasertests über Wasser, um zu beweisen, dass die Erde flach ist, sind daher unsinn, da starke Refraktion dazu führt, dass sich der Laser entlang der Oberfläche zum Beobachter biegt, siehe Starke Refraktion bei den Bedford-Zielen.

Um genaue Messungen zu erhalten, müss sichergestellt werden, dass die Sichtlinie immer einige Meter über der Oberfläche liegt, die Temperatur der Oberfläche und der Luft ungefähr gleich ist (keine sichtbaren Verzerrungen, klares Bild) und die Entfernung zum Objekt nicht zu gross ist, weil die scheinbare Anhebung durch Refrakion mit dem Quadrat der Entfernung zunimmt.

Weitere nützliche Lektüre mit Erklärungen und Simulationen von Refraktion:

Refraktions-Faktor

Um dieselben Gleichungen z.B. zur Berechnung der Verdeckung von Objekten durch die Erdkrümmung und unter Berücksichtigung der Refraktion gibt es einen Trick: Wir ersetze einfach den Erdradius R durch einen vergrösserten scheinbaren Erdradius R', der aus dem Refraktions-Koeffizienten k berechnet werden kann, und nehmen dann den Lichtstrahl als gerade an. An der Geometrie zwischen Erde und Lichtstrahl ändert sich dadurch nichts.

Ich bezeichne den Multiplikator als Refraktions-Faktor a:

(3)

per Definition

(4)

 

wobei'
' =' 'scheinbarer, erweiterter Radius der Erde aufgrund der Refraktion
' =' '6371 km = effektiver Radius der Erde
' =' 'Refraktions-Faktor
' =' 'Refraktions-Koeffizient

Ein Wert von a = 7/6 entspricht der Standard Refraktion k = 0,14.

Hinweis: In der Literatur wird der Refraktions-Faktor oft als K (grosses K) bezeichnet. Um Verwechslungen mit dem Refraktions-Koeffizienten k zu vermeiden, verwende ich a anstelle von K.

Der Refraktions-Faktor kann aus dem Brechungsindex Gradienten oder dem Refractivity Gradienten wiefolgt berechnet werden:

(5)
siehe

Deriving Equations for Atmospheric Refraction

wobei'
' =' 'Refraktions-Faktor
' =' '6371 km = Radius der Erde
' =' 'Rrefractivity Gradient in 1/km, Standard ist −22,4/km für k = 0,143 oder a = 7/6
' =' 'Brechnungsindex Gradient in 1/km
' =' '(n1) · 106 = Refractivity
' =' 'Brechungsindex
' =' 'Höhe

Scheinbare Anhebung durch Refrakion

Da die Dichte der Atmosphäre mit zunehmender Höhe abnimmt, werden Lichtstrahlen zur Erdoberfläche hin gebeugt. Lichtstrahlen eines Ziels erreichen einen Beobachter also von weiter oben als ohne Beugung. Das Ziel erscheint höher als es in Wirklichkeit ist. Die Refraktion kann in der Nähe der Oberfläche stark variieren. In diesem Fall erscheinen Bilder verzerrt und unscharf. Wenn ein Bild unverzerrt und scharf erscheint, dann kann angenommen werden, dass die Beugung von Lichtstrahlen, die nicht zu nahe entlang der Oberfläche verlaufen, ungefähr der standard Refraktion k = 0,13..0,17 entspricht.

Wenn wir den Mittelwert des Refraktions-Koeffizienten k kennen, können wir mit der folgenden Formel berechnen, wie stark jede Zieltafel, gemessen am Standort der Tafel, angehoben zu sein scheint:

(6)
(7)
(8)
siehe

Refraktions-Winkel und Anhebung

wobei'
' =' 'scheinbare Anhebung eines Ziels aufgrund der Refraktion bezüglich einer Referenz wie die Augenhöhe des Beobachter
' =' 'Refraktions-Winkel
' =' 'Refraktions-Koeffizient, Standard Refraktion ist k = 0,17
' =' '1/RR = Krümmung des Lichtstrahls
' =' 'Krümmungs-Radius des Lichtstrahls
' =' 'Distanz zwischen Ziel und Beobachter
' =' '6371 km = Radius der Erde

Hinweis: Diese Formeln können für jede Form der Erde verwendet werden. Der Faktor R ist nur vorhanden, weil der Refraktions-Koeffizien k als die Krümmung des Lichtstrahls 1/RR mal R definiert ist. Die Krümmung des Lichtstrahls selbst ist unabhängig von der Form der Erde.

Die folgende Tabelle listet die erwartete Anhebung für jede Zieltafel abhängig von einigen Refraktions-Koeffizienten auf.

Werte in m Tafel (1) Tafel (2) Tafel (3) Tafel (4) Tafel (5) Tafel (6) Tafel (7)
Distanz 1095 2169 3234 4363 5434 6429 9459
Höhe 1.82 1.84
4.27
1.81 1.84
5.24
1.73 1.67
6.50
 
10.54
Grösse 0.55 0.37
0.41
0.55 0.74
0.86
0.92 0.65
0.65
 
1.6
Anhebung (k=0.1) 0.01 0.04 0.08 0.15 0.23 0.32 0.70
Anhebung (k=0.17) 0.02 0.06 0.14 0.25 0.39 0.55 1.19
Anhebung (k=0.27) 0.03 0.10 0.22 0.40 0.63 0.88 1.90
Anhebung (k=0.41) 0.04 0.15 0.34 0.61 0.95 1.33 2.88

Wie wir sehen können, je weiter ein Ziel entfernt ist, umso mehr erscheint es durch die Refraktion angehoben. Die letzte Tangent-Zieltafel (7) kann selbst bei moderaten Refraktionsänderungen leicht um mehr als seine Tafelgrösse angehoben erscheinen, wie unter Starke Refraktion bei den Tangent-Zielen gezeigt.

Hinweis: Die Zentren der Bedford-Tafeln wurden genau 1,85 m über dem Wasserspiegel montiert. In der obigen Tabelle sind die vom Computermodell verwendeten Höhen der Tafelzentren aufgeführt. Aufgrund von Variationen im Gravitationsfeld der Erde, ausgedrückt durch das World Geodetic System 1984 EGM96 Geoid, siehe Ermitteln der geodätischen Höhen, ist die Ellipsoidhöhe der Wasseroberfläche bei der letzten Tafel (7) ungefähr 25 cm niedriger als die Ellipsoidhöhe der Wasseroberfläche beim Beobachter. Das Computermodell berücksichtigt die Geoidvariationen nicht. Um die exakten geometrischen 3D-Positionen der Tafeln zu simulieren, wurden alle Höhen der Tafelzentren für eine Kugel-Erde justiert, indem die Ellipsoidhöhen an den Standorten der Tafeln auf die Ellipsoidhöhe beim Beobachter umgerechnet wurden. Daraus resultieren die in der obigen Tabelle aufgeführten reduzierten Höhen der Tafelzentren. Durch diese Anpassungen stimmen die Positionen der Tafeln des Computermodells perfekt mit den Beobachtungen überein, während der Horizont auf dem Computermodell etwa 24 cm zu hoch erscheint, da er nicht den Oberflächenabfall von 25,1 cm des Geoid enthält.

Horizont oberhalb Augenhöhe

Wenn Refraktion bewirkt, dass der Horizont oberhalb der Augenhöhe erscheint (konkave Erde), wird der Horizont so weit entfernt erscheinen, wie wir sehen können, solange keine Hindernisse den Horizont verdecken. Der Boden blendet langsam in den Himmel über und daher ist der Horizont keine klare Linie. Beachte, dass es immer einen Horizont geben wird, denn es gibt immer Lichtstrahlen, die nie den Boden erreichen. Bei Refraktionen k < 1, einschliesslich der Standard Refraktion, hat der Globus in einer bestimmten Entfernung einen ausgeprägten Horizont, siehe Sichtlinien-Distanz zum Horizont. Die Flach-Erde hingegen hat nur dann einen ausgeprägten Horizont, wenn das Licht durch negative Refraktion nach oben gekrümmt wird.

Unten sind 2 Bilder von einer Refraktions-Simulation, die zeigen, wie der Horizont bei Standard Refraktion für das Globus- und das Flach-Erde-Modell erscheint. Die Simulation sagt voraus, dass es auf der flachen Erde keine deutliche Horizontlinie wie beim Globus gibt, wenn die Refraktion grösser als 0 ist.

ZoomAusgeprägter Horizont beim Globus-Modell
ZoomKein ausgeprägter Horizont beim Flach-Erde-Modell

Die Ziele in den Bildern oben sind 3 m hoch und 6 m breit.

Gekrümmte Lichtstrahlen auf Globus und flacher Erde

Die Krümmung der Lichtstrahlen aufgrund terrestrische Refraktion hängt praktisch nicht von der Form der Erde ab, sondern ist lediglich eine Funktion des Dichtegradienten. Dieser widerum hängt über das ideale Gasgesetz mit dem Druck- und Temperaturgradienten zusammen. Diese Gradienten haben nichts mit der Form der Erde zu tun, sondern lediglich mit der Gravitation und der Zusammensetzung der Atmosphäre.

In dieser Simulation atmosphärischer Refraktion können wir sehen, dass die Lichtstrahlen im Globus und Flach-Erde-Modell genau gleich stark gebogen werden. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir den Horizont in verschiedenen vertikalen Winkeln in Bezug auf die Augenhöhe sehen. Der scheinbare Anhebung des Horizonts oder eines beliebigen Objekts ist bei beiden Modellen praktisch identisch. Die Tatsache, dass die Luftschichten auf dem Globus gekrümmt, auf der flachen Erde jedoch flach sind, hat keinen Einfluss innerhalb Entfernungen, die viel kleiner als der Erdradius sind.

Hinweis: Dies gilt nicht, wenn wir in bodennahen Schichten messen und starke Refraktion in diesen Schichten haben, die Spiegelungen und Kompressionen verursachen. [2] In diesem Fall sehen Globus und Flach-Erde bei den gleichen atmosphärischen Bedingungen nicht gleich aus. Wir können die Simulation atmosphärischer Refraktion verwenden, um ein solches Verhalten zu untersuchen. Aber solange wir Objekte oberhalb solcher Bodenschichten beobachten, ist der Unterschied vernachlässigbar.

Refraktion beim Flach-Erde-Modell

Um gemachten Beobachtungen auf einer flachen Erde zu erzeugen, müsste die Refrakion sehr stark und negativ sein, so dass das Licht dauerhaft und in jede Höhe nach oben gekrümmt wird. Solche Refraktionen erfordern Temperaturgradienten von −15°C pro 100 m hinauf bis zum Flach-Erde-Dom, siehe Simulation of Atmospheric Refraction.

Dies ist physikalisch unmöglich. Negative Refraktion kann nur in dünnen Schichten über der Oberfläche mit Temperaturinversionen auftreten und erzeugt Luftspiegelungen und stark verzerrte Bilder.

Die Refraktion der Atmosphäre ist vorwiegend positiv und beugt das Licht nach unten, siehe Refraction Coefficient as a Function of Altitude. Positive Refraktion lässt die Erde flacher erscheinen als sie ist und kann Objekte ins Blickfeld heben, von denen erwartet wird, dass sie bei Null-Refraktion durch die Krümmung der Erde verdeckt sind.

Die Überlagerung von Bildern der Beobachtungen mit den gemessenen GPS-Vektoren zeigt, dass die scheinbare Anhebung der Ziele mit den Berechnungen übereinstimmt, bei denen Standard bis mässige Refraktion angewandt wird.

Nach allem was wir über atmosphärische Physik wissen sind die gemachten Beobachtungen auf einer flachen Erde unmöglich.

Messen der Refraktion

Es wurden zwei Methoden zur Messung der Refraktion im Rainy Lake Experiment angewandt:

Beide Methoden erfordern, dass wir die 3D-Vektoren im Raum zu den Tafelzentren messen oder berechnen können. Methode 1 verwendet die GPS-Vektoren, die direkt mit professionellen GNSS-Empfängern gemessen wurden. Methode 2 verwendet die berechneten Vektoren, die von Globus- und Flach-Erde- Computermodell vorhergesagt wurden.

Eine dritte Methode wäre Messen der Refraktion aus Beobachtungen mit einem Theodoliten. Dies wurde in diesem Experiment nicht getan, aber ich werde trotzdem beschreiben, wie dies gemacht werden kann.

Messen der Refraktion mittels GPS-Vektoren

Die GPS-Vektoren zu den Tafelzentren wurden mit einem professionellen GNSS-Empfänger gemessen. Sie stellen die geometrischen Positionen im Raum dar, unabhängig von Refraktion, Perspektive oder dem Modell der Erde.

Die folgenden Screenshots zeigen die Überlagerung von Fotos der Bedford- und Tangent-Tafeln mit den entsprechenden GPS-Vektoren in der App zur Visualisierung der GNSS-Daten. Die Fotos wurden durch das Okular des Nivelliergerätes aufgenommen. Die virtuelle Kamera der App wurde auf die Beobachterpositionen gesetzt und der Zoom und die Blickrichtung wurden so justiert, dass die vertikalen Positionen der nächsten Tafelzentren und die horizontalen Positionen aller Tafeln von App und Bild übereinstimmen.

ZoomBild 23: Überlagerung GPS-Vektoren mit Bild der Bedford-Tafeln → App
ZoomBild 24: Überlagerung GPS-Vektoren mit Bild der Tangent-Tafeln → App

Die weissen Markierungen zeigen die Positionen, auf welche die GPS-Vektoren zeigen, und werden als Bezugspunkte verwendet. Die scheinbare Anhebung der Tafeln ist auf die Refraktion zurückzuführen und kann aus dem Bild gemessen werden.

Hinweis: Die Formeln für den Refraktions-Koeffizienten (9) und (10) können für jede Form der Erde verwendet werden. Der Faktor R ist nur vorhanden, weil der Refraktions-Koeffizient k als die Krümmung der Lichtstrahlen mal R definiert ist. Die Krümmung der Lichtstrahlen selbst ist unabhängig von der Form der Erde.

Hinweis: Verwenden Sie positive Werte für l, wenn das Bild höher erscheint als die GPS-Vektoren und negative Werte, wenn das Bild niedriger als die GPS-Vektoren erscheint.

Bedford-Ziele Refraktion: Die scheinbare Anhebung der Bedford Zieltafel (5) in 5,4 km Entfernung beträgt ungefähr 0,5 m, geschätzt aus der vertikalen Grösse der Tafel von 0,9 m. Die Anwendung der Formel (8) ergibt eine Brechung von:

(9)

Tangent-Ziel Refraction: Die scheinbare Anhebung der Tangent-Zieltafel (7) in einer Entfernung von 9,5 km beträgt ungefähr 1 m, geschätzt aus der vertikalen Grösse dere Tafel von 1,6 m. Die Anwendung der Formel (8) ergibt eine Brechung von:

(10)

Die gemessene Refraktion bei den Bedford-Zielen aus 1,85 m Beobachterhöhe war etwas höher als bei den Tangenten-Tafeln aus 3,91 m Beobachterhöhe, was mit den Vorhersagen der atmosphärischen Refraktion übereinstimmt (Refraktion ist oft stärker in Bodennähe).

Die Marker in der App wurden exakt an den vertikalen Positionen der Zentren der ersten Tafeln ausgerichtet, aber in Wirklichkeit waren auch diese Tafeln von der Refraktion betroffen und sollten etwas oberhalb dieser Marker erscheinen. Daher führt diese Refraktionsberechnung zu etwas zu kleinen Werten: 0,05 kleiner als im Vergleich zu Messen der Refraktion mit dem Computermodell.

Die GPS-Vektoren zeigen deutlich, dass die Erde nicht flach ist.

Messen der Refraktion mit dem Computermodell

Wir können das Computermodell verwenden, um die Refraktion aus einem Bild wie folgt zu messen:

Wir importieren ein Bild der Bedford- oder Tangent-Ziele in das Computermodell, stellen die Beobachterhöhe entsprechend ein, stellen den Zoom passend zum Zoom des Bildes ein und schwenken die Modellkamera in die Richtung, in die die reale Kamera ausgerichtet wurde. Wir müssen die Simulation des Globus-Modells verwenden, um die Refraktion zu messen, da die Refraktion für das Flach-Erde-Modell nicht simuliert wird. Aber wir können die Refraktion für das Flach-Erde-Modell aus den mit dem Globus-Modell erhaltenen Werten berechnen.

Wenn im Computermodell 0 Refraktion eingestellt ist, erscheinen alle Tafeln auf den Bildern zu hoch und können durch Neigen der Modellkamera nicht mit dem Bild zur Deckung gebracht werden. Aber wenn wir die Refraktion mit dem Refraktions-Schieberegler erhöhen, können wir die Computergrafik perfekt mit den Bildern zur Deckung bringen. Wir können dann den Refraktions-Koeffizienten k im Computermodell ablesen:

Flach-Erde-Refraktion abgeleitet aus Globus-Refraktion

Der entsprechende Refraktions-Koeffizient des Flach-Erde-Modells kann aus dem Refraktions-Koeffizienten k des Globus-Modells wiefolgt berechnet werden:

(11)

Begründung: Wenn im Globus-Modell die Refraktion k = 0 ist, erscheint die Erde wie eine Kugel mit Radius 6371 km. In Wirklichkeit würde die Flach-Erde als eine solche Kugel erscheinen, wenn Licht mit einem Krümmungsradius von 6371 km nach oben gebogen wird. Diese Lichtstrahlkrümmung entspricht einem Refraktions-Koeffizienten von −1: somit ist kFE = k1 = 01 = −1.

Wenn dagegen im Globus-Modell die Refraktion k = 1 ist, erscheint die Erde flach, weil bei dieser Refraktion Lichtstrahlen mit einem Krümmungsradius von 6371 km nach unten gebogen werden. In Wirklichkeit würde die Flach-Erde flach erscheinen, wenn die Refraktion 0 ist: also kFE = k1 = 11 = 0.

Diese Korrelation zwischen kFE und k gilt nur für k < 1 bzw. kFE < 0, wo wir einen deutlichen Horizont haben. Unter anderen Bedingungen müssen wir die Berechnungen ohne Horizont ausführen.

Die gemessenen Refraktions-Koeffizienten der flachen Erde aus dem Computermodell sind also:

  • Resultat für die Bedford-Ziele: kFE = 0,2701 = −0,730
  • Resultat für die Tangent-Ziele: kFE = 0,1871 = −0,813

Wie unter Refraktionsbereich bei klaren Bildern erklärt, würden solch hohe negative Refraktionen verzerrte, unscharfe Bilder verursachen. Wir sehen keine Verzerrungen in den gemachten Bildern und diese negativen Werte stimmen nicht mit den Werten überein, die wir bei Messen der Refraktion mittels GPS-Vektoren erhalten haben.

Diese Ergebnisse zeigen, dass die Erde nicht flach sein kann.

Messen der Refraktion aus Beobachtungen

Wir können die Refraktion aus Beobachtungen der realen Welt gewinnen. Zuerst berechnen wir das erwartete Abfallen des Horizonts oder eines Objektes für das Globus- und Flach-Erde-Modell für den Fall mit 0 Refraktion. Dann messen wir den effektiven Abfall mit einem Theodoliten. Aus der Differenz von Erwartungswert und Messung können wir die Reffraktions Koeffizienten für beide Modelle berechnen.

Um den erwarteten Abfall des Horizontes x und den Abfallwinkel φ mit 0 Refraktion in Abhängigkeit von der Beobachterhöhe h zu berechnen, können wir für den Globus die folgenden guten Näherungen verwenden. Beachte, dass wir positive Werte für Abfallen unter Augenhöhe verwenden:

(12)
siehe

Abfallen des Horizontes von Augenhöhe

Abfall-Winkel des Horizontes von Augenhöhe

wobei'
' =' 'erwartetes Abfallen des Horizontes von Augenhöhe für den Globus bei k = 0
' =' 'erwarteter Abfall-Winkel von Augenhöhe in Radiant für den Globus bei k = 0
' =' 'Beobachter Augenhöhe
' =' '6 371 000 m = Radius der Erde

Das erwartete Abfallen des Horizontes und der Abfall-Winkel für das Flach-Erde-Modell beträgt einfach 0.

(13)
wobei'
' =' 'erwartetes Abfallen des Horizontes von Augenhöhe für die Flach-Erde bei k = 0
' =' 'erwarteter Abfall-Winkel von Augenhöhe in Radiant für die Flach-Erde bei k = 0

Nun messen wir mit einem Theodoliten den realen Abfall des Horizontes xreal oder Abfall-Winkel φreal. Wenn wir den Abfall-Winkel φreal messen, müssen wir ihn mit der folgenden Formel in die Abfall Höhe xreal umrechnen. Beachte, dass wir positive Werte für Abfallen unter Augenhöhe verwenden:

(14)

 

siehe

Winkelgrösse

 

(15)

gute Näherung

siehe

Sichtlinien-Distanz zum Horizont

 

wobei'
' =' 'Abfall Höhe aus gemessenem Abfall-Winkel φreal
' =' 'Distanz zum Horizont als Bezugsgrösse (für das Globus-Modell ohne Refraktion)
' =' 'Beobachter Augenhöhe
' =' '6 371 000 m = Rarius der Erde

Nun berechnen wir die scheinbare Anhebung wegen der Refraktion aus den Differenzen zwischen Erwartung und Messung. Beachte, dass wir positive Werte für Abfallen unter Augenhöhe verwenden:

(16)
wobei'
' =' 'scheinbares Anheben wegen Refraktion

Jetzt können wir die Refraktions-Koeffizienten für das Flach-Erde- und Globus-Modell mit der gleichen Formel für beide Modelle berechnen, da die Krümmung der Lichtstrahlen über Entfernungen von nicht viel mehr als 10 km in der Praxis für beide Modelle identisch ist, siehe Gekrümmte Lichtstrahlen auf Globus und flacher Erde:

(17)
wobei'
' =' 'Refraktions-Koeffizient für das Globus-Modell
' =' 'Refraktions-Koeffizient für das Flach-Erde-Modell
' =' 'scheinbare Anhebung durch Refraktion beim Globus-Modell
' =' 'scheinbare Anhebung durch Refraktion beim Flach-Erde-Modell
' =' 'Distanz zum Horizont, siehe (15)
' =' '6371 km = Radius der Erde

Diese Methode funktioniert nur, wenn ein nicht verdeckter und deutlicher Horizont vorhanden ist, was nicht immer der Fall ist, siehe Horizont oberhalb Augenhöhe. Wenn es keinen eindeutigen Horizont gibt, müssen wir die Berechnungen ohne Horizont machen.

Wenn der berechnete Refraktions-Koeffizient innerhalb des Refraktionsbereichs von klaren Bildern liegt, wird das Bild klar und unverzerrt ausfallen. Ausserhalb dieses Bereichs sieht es verzerrt aus. Wenn wir ein klares, unverzerrtes Bild sehen aber der berechnete Refraktions-Koeffizient für eines der Modelle ausserhalb des Bereichs für klare Bilder liegt, dann erfüllt dieses Modell die Vorhersage nicht und ist falsch.

Berechnungen ohne Horizont

Wenn wir keinen deutlichen Horizont haben, müssen wir ein anderes Objekt mit bekannter Höhe und Entfernung verwenden, um seine Position in Bezug auf Augenhöhe für 0 Refraktion zu berechnen. Für das Globus-Modell können wir die folgenden Formeln verwenden. Positive Werte stehen für einen Abfall unter die Augenhöhe:

(18)
siehe

Abfallen eines Objektes von Augenhöhe

Winkelgrösse

wobei'
' =' 'Abfallen des Objektes von Augenhöhe; negative Werte für Objekte oberhalb Augenhöhe
' =' 'Abfall-Winkel von Augenhöhe in Radiant, negative Werte für Objekte oberhalb Augenhöhe
' =' 'Entfernung zum Zielobjekt (Sichtlinie oder entlang der Oberfläche ist ungefähr gleich)
' =' 'Beobachter Augenhöhe
' =' 'Zielobjekt höchster Punkt
' =' '6 371 000 m = Radius der Erde

Für das Flach-Erde-Modell können wir folgende Formel verwenden:

(19)

Wir können dann mit einem Theodoliten die Anhebung oder Senkung des Zielobjekes in Bezug auf die Augenhöhe messen. Die verbleibenden Berechnungen sind die gleichen wie beschrieben unter Messen der Refraktion aus Beobachtungen mit einem deutlichen Horizont.

Starke Refraktion

Schauen wir mal, ob wir aus Bildern, welche starke Refraktion zeigen, die Form der Erde bestimmen können. Dazu müssen wir zunächst untersuchen, wie starke Refraktion eine Beobachtung beeinflusst.

Den grössten Einfluss auf die atmosphärische Refraktion hat der Temperaturgradient dT/dh (Temperaturänderung in einem bestimmten Höhenbereich). Bei atmosphärischen Standardbedingungen unterhalb 11 km Höhe ist der Temperaturgradient gemäss International Standard Atmosphere konstant −0,0065°C/m, was auf Meereshöhe zu einem Refraktions-Koeffizienten von k = 0,17 führt, genannt Standard Refraktion.

Verzerrte Bilder werden durch turbulente Luft verursacht. Turbulente Luft wird durch vom Standard abweichende Temperaturgradienten verursacht. Verzerrte Bilder sind also immer ein Zeichen für starke Refraktion. Tatsächlich gibt es Geräte, die die Refraktion messen, indem sie die sichtbare Luftturbulenzen auf Bildern analysieren [3] [4].

Andererseits ist ein klares Bild ein Zeichen für einen Temperaturgradienten nahe dem Standard, der eine geringe Refraktion verursacht. Beachte jedoch, dass eine niedrige Refraktion nicht Null-Refraktion ist. Da die Luftdichte mit zunehmender Höhe immer abnimmt, herrscht auch bei ruhiger Luft immer etwa Standard Refraktion.

Refraktionsbereich bei klaren Bildern

Die folgende Tabelle listet einige Refraktionswerte auf und zeigt, wie die Erde (flach und Globus) gemäss Akzeptiertes Modell der terrestrischen Refraktion voraussichtlich aussehen wird:

Refraktion dT/dh [°C/m] Bild Flach-Erde-Bild Globus-Bild
k = −1 −0,20 verzerrt Globus mit R = 6371 km
Horizont unterhalb Augenhöhe
Globus mit R = 3185 km
Horizont unterhalb Augenhöhe
k = −0,83..0 −0,17..−0,034 verzerrt Globus R > 7682 km oder flach
Horizont unterhalb Augenhöhe
Globus R = 3481..6371 km
Horizont unterhalb Augenhöhe
k = 0 −0,034 klar flach
Horizont auf Augenhöhe
Globus R = 6371 km
Horizont unterhalb Augenhöhe
k = 0,17
Standard
−0,0065
Standard
klar konkav
Horizont oberhalb Augenhöhe
Globaus R = 7682 km
Horizont unterhalb Augenhöhe
k = 0..0,3 −0,034..0,015 klar flach..konkav
Horizont oberhalb Augenhöhe
Globaus R = 6371..9101 km
Horizont unterhalb Augenhöhe
k = 0,3..1 0,015..0,13 verzerrt konkav
Horizont weit oberhalb Augenhöhe
Globus..flach R > 9101 km
Horizont unterhalb Augenhöhe
k = 1 0,13 verzerrt konkav
Horizont weit oberhalb Augenhöhe
flach
Horizont auf Augenhöhe
k = 1..2 0,13..0,29 verzerrt konkav
Horizont weit oberhalb Augenhöhe
flach..konkav
Horizont oberhalb Augenhöhe
k > 2 > 0,29 verzerrt konkav
Horizont weit, weit oberhalb Augenhöhe
konkav
Horizont weit oberhalb Augenhöhe

Die folgende Grafik zeigt die Korrelation zwischen dem Refraktions-Koeffizienten und der vorhergesagten Höhe des Horizontes in Bezug auf die Augenhöhe für das Flach-Erde- und Globus-Modell.

Dieses Diagramm ist nicht genau, zeigt aber den Punkt für die folgende Diskussion. Der wahre Zusammenhang zwischen Refraktion und Horizontabfall ist nicht linear. Die Schräge der Horizontlinien hängt von der Höhe des Beobachters ab, aber der Globus Horizont muss die Augenhöhenlinie bei k = 1 und der Flach-Erde-Horizont muss die Augenhöhenlinie k = 0 kreuzen und die Horizontlinien sind parallel.

Der Bereich des Refraktions-Koeffizienten, der mit klaren Bildern assoziiert ist, wird mit einem blauen Hintergrund angezeigt. Dieser Bereich hängt teilweise von der beobachteten Entfernung ab. Nahe Objekte erscheinen weniger verzerrt als entfernte Objekte. Hier ist der 10 km Bereich des Rainy Lake Experiment gezeigt.

Korrelation zwischen Refraktion und Horizontabfall

Wir können sehen, dass für einen bestimmten Horizontabfall der Refraktions-Koeffizient des Flach-Erde-Modells kFE = kGlobe1 ist, zumindest für k-Werte kleiner als 1, wie unter Flach-Erde-Refraktion abgeleitet aus Globus-Refraktion erklärt wird.

Wenn die Refraktion 0 beträgt, befindet sich der Horizont der flachen Erde auf Augenhöhe, während der Abfall für den Globus dem einer Kugel mit Radius 6371 km entspricht. Wenn die Refraktion 1 ist, befindet sich der Globushorizont auf Augenhöhe, der Globus erscheint flach, während die Flach-Erde konkav erscheint. Damit die Flach-Erde als Globus mit Radius 6371 km erscheint, muss die Refraktion k = −1 sein. Solche Bedingungen können nur über heissem Boden auftreten und sind auf niedrige Höhen über dem Boden beschränkt. Die entsprechenden Bilder sehen sehr verzerrt aus, da der Temperaturgradient für solche Refraktionen turbulente Luft verursacht.

Starke Refraktion bei den Bedford-Zielen

Wenn die Refraktion grösser als 1 wird, erhebt sich der Horizont sogar auf dem Globus über die Augenhöhe und die Erde erscheint konkav. Eine Beobachtung mit einer Refraktion grösser als 1 ist in Bild 28 gezeigt. Wir können eine starke Refraktion schlussfolgern, weil das Bild sehr verzerrt aussieht und das zugehörige Video eine sehr instabile Szene zeigt.

Bild 27: Klares Bild, niedrige Refraktion, siehe Video
Bild 28: Verzerrtes Bild, starke Refraktion, siehe Video

Hinweis: Augenhöhe auf beiden Bildern befindet sich dort, wo sich das horizontale Fadenkreuz befindet, nicht in der Bildmitte! Beide Bilder wurden aus 1,85 m Beobachterhöhe durch ein Nivelliergerät aufgenommen.

Globus-Modell: Gemäss Refraktionsbereich bei klaren Bildern ist die Refraktion in Bild 27 gering, ungefähr Standard Refraktion, weil der Horizont unterhalb der Augenhöhe erscheint und das Bild klar ist. Die Refraktion auf Bild 28 ist stark, weil das Bild verzerrt ist. Der Horizont erscheint oberhalb der Augenhöhe, was bedeutet, dass die Refraktion grösser als 1 ist. Beide Bilder stimmen mit den Vorhersagen der terrestrischen Refraktion des Globus-Modells überein.

Flach-Erde-Modell: Messen der Refraktion aus Beobachtungen für das Flach-Erde-Modell ergibt für Bild 28 einen Refraktions-Koeffizienten grösser als 1. Gemäss Refraktionsbereich bei klaren Bildern wird erwartet, dass ein solches Bild auf der flachen Erde sehr verzerrt aussehen wird. Dies ist hier der Fall. Daher unterstützt dieses Bild das Flach-Erde-Modell. Aber in Bild 27 ist die für das Flach-Erde-Modell berechnete Refraktion stark negativ, da der Horizont weit unterhalb Augenhöhe erscheint. Laut Refraktionsbereich bei klaren Bildern sollte dieses Bild sehr verzerrt aussehen, aber es sieht klar aus. Dies bedeutet, dass die Annahme einer flachen Erde nicht mit dieser Beobachtung übereinstimmt.

Bilder der Bedford-Ziele mit starker Refraktion stimmen nicht mit dem Flach-Erde-Modell überein.

Berechnungen

Auch wenn die scheinbare Anhebung des Horizonts hier unglaublich stark erscheinen mag, bedenke, dass wir durch die Optik eines Nivelliergerätes mit starker Vergrösserung blicken. Der Refraktions-Winkel zum Horizont am entferntesten Ziel in 9,5 km Entfernung beträgt bei der Standard Refraktion nur ρ = 0,0072°, siehe Formel (7). Der Horizont auf Bild 28 erscheint etwa 15 m höher als in Bild 27, was einem Refraktions-Koeffizient von k = 2,1 entspricht, siehe Formel (8). Der Refraktions-Winkel bei dieser Refraktion ist immer noch kleiner als ρ = 0,09°. Aber das reicht aus, um den Horizont scheinbar 9m über die Augenhöhe zu heben! Die Erde erscheint konkav.

Laser Tests

Die Refraktion geht mit zunehmender Höhe immer in die Standard Refraktion über. Wenn wir über eine Oberfläche schauen, wird das Licht am stärksten beeinflusst, wenn es sich der Oberfläche nähert. Zumindest Teile der Lichtstrahlen von Objekten hinter dem Horizont streifen den Horizont immer dort, wo die Brechung am stärksten ist. Unter Looming Bedingungen, bei denen die Refraktion über dem Standard liegt, erscheinen Bilder in der Nähe der Oberfläche zunehmend komprimiert, da die Refaktion dort am stärksten ist und die unteren Bereiche von Objekten stärker anhebt als die oberen Bereiche.

Wenn die Refraktion direkt über der Oberfläche grösser als 1 ist, was bei Looming Bedingungen sehr häufig der Fall ist, können Lichtstrahlen, welche die Oberfläche streifen, der Erdkrümmung Hunderte von Kilometern folgen. Es ist keine gute Idee, einen Laser über grosse Entfernungen über Wasser oder Eis zu schiessen, um die Krümmung zu messen, da immer Lichtstrahlen die Oberfläche streifen werden, die dann in jeder Entfernung zu sehen sind, bis sie follständig von der Atmosphäre absorbiert sind.

Es ist offensichtlich, dass unter Bedingungen wie in Bild 28 ein Laser, der in einer Entfernung von 10 km oder mehr auf dem Boden platziert wird, für jeden Beobachter sichtbar wäre. Bild 28 wurde vor Sonnenaufgang aufgenommen, als der Boden noch kälter als die Luft darüber war. Dies kann zu starken Refraktionen von k > 1 führen.

Nach Sonnenuntergang, wenn der Boden schneller abkühlt als die Luft darüber, können in Bodennähe leicht Refraktions-Koeffizienten weit über 1 auftreten. [2] Flacherder führen ihre Lasertests nach Sonnenuntergang immer in Bodennähe über kaltem Wasser oder Eis durch. Unter solchen Bedingungen wird erwartet, dass ein Laser über jede Entfernung sichtbar ist. Solche Experimente, um zu beweisen, dass die Erde flach ist, sind fehlerhaft, wie das Rainy Lake Experiment zeigt.

Starke Refraktion bei den Tangent-Zielen

Hier sind einige Bilder aus dem Video Refraktion im Zeitraffer, die zeigen, dass eine starke Refraktion in grösserer Höhe nicht so stark ausfällt wie in niedrigerer Höhe, aber dennoch Ziele in der Ferne erheblich anheben kann.

  • Zeitraffer bei 13 s
  • bei 16 s
  • bei 20 s
  • bei 28 s
  • bei 38 s
  • bei 39 s

Starke Refraktion lässt Szenen verzerrt erscheinen. Wenn wir also ein verzerrtes Bild einer Szene vor uns haben, können wir sicher sein, dass es bei starker Refraktion aufgenommen wurde. Auf den ersten Bildern oben ist die Refraktion also gering, während sie auf den letzten Bildern stark ist. Der Effekt ist im Video Refraktion im Zeitraffer während eines Tages noch besser sichtbar.

Vergleichen wir die Refraktion aus dem ersten und letzten Bild für das Flach-Erde- und Globus-Modell:

Bild 31: klares Bild, schwache Refraktion
Bild 32: verzerrtes Bild, starke Refraktion

Globus-Modell: Gemäss Refraktionsbereich bei klaren Bildern ist die Refraktion in Bild 31 gering, ungefähr Standard, weil der Horizont unterhalb der Augenhöhe liegt und das Bild klar ist. Die Refraktion in Bild 32 kann als stark angenommen werden, da das Bild verzerrt ist. Auf beiden Bildern befindet sich der Horizont unterhalb der Augenhöhe, was bedeutet, dass die Refraktion auf beiden Bildern kleiner als 1 ist. Beide Bilder stimmen mit den Vorhersagen der terrestrischen Refraktion für das Globus-Modell überein.

Flach-Erde-Modell: Da der Horizont auf beiden Bildern unterhalb der Augenhöhe erscheint, müssen die entsprechenden Refraktions-Koeffizienten in beiden Bildern gemäss der Grafik Refraktionsbereich bei klaren Bildern im Flach-Erde-Modell negativ sein. Die Refraktion in Bild 31 muss mehr negativ sein als in Bild 32, da der Horizont in Bild 31 weiter unten erscheint als in Bild 32. Da Bild 32 mit weniger negativer Refraktion als Bild 31 bereits sehr verzerrt erscheint, müsste Bild 31 mit mehr negativer Refraktion noch stärker verzerrt erscheinen. Aber das Bild 31 ist sehr klar. Dies bedeutet, dass die Annahme einer flachen Erde von dieser Beobachtung widerlegt wird.

Aus den Verzerrungen der Bilder kann geschlossen werden, dass die Refraktion im Bereich von Standard Refraktion bis Refraktion k < 1 liegen muss. In diesem Refraktionsbereich erscheint beim Globus-Modell der Horizont immer unterhalb der Augenhöhe. Dies stimmt mit der Beobachtung überein. Im Flach-Erde-Modell würde der Horizont in diesem Refraktionsbereich immer oberhalb Augenhöhe erscheinen, was mit der Beobachtung nicht vereinbar ist.

Bilder der Tangent-Ziele bei starker Refraktion stimmen nicht mit den Vorhersagen des Flach-Erde-Modells überein.

Berechnungen

Die scheinbare Anhebung der Tangent-Tafel (7) zwischen dem ersten und dem letzten Bild wird aufgrund der Tafelhöhe von 1,6 m auf ungefähr 2,9 m geschätzt. Dies entspricht nach Formel (8) einer Refraktionsdifferenz von k = 0,23. Der gemessene Refraktions-Koeffizient für das Globus-Modell beträgt für das erste Bild k = 0,18. Der Refraktions-Koeffizient für das letzte Bild ist also k = 0,18 + 0,23 = 0,41.

Die stärkste beobachtete Refraktion bei den Bedford-Zielen mit einer Beobachterhöhe von 1,85 m (Bild 28) betrug etwa k = 2,1. Die stärkste beobachtete Refraktion bei den Tangent-Tafeln mit einer Beobachterhöhe von 3,91 m (Bild 32) betrug etwa k = 0,41. Dies stimmt mit der Vorhersage überein, dass die Refraktion nahe der Oberfläche normalerweise stärker ist als weiter oben.

Refraktion im Zeitraffer

Video Rainy Lake Time Lapse Stabilized and Cropped 2018-04-01 by Soundly.

Die Kamera befand sich in einer Höhe von etwa 4 m über dem Wasserspiegel neben dem Nivelliergerät, welches auf die Höhe der Tangent-Zieltafeln montiert ist. Beachte, wie die Refraktion gegen Abend immer stärker wird, sobald der Boden durch Abstrahlung der Wärme schneller abkühlt als die Luft darüber, wodurch direkt über der Oberfläche ein starker negativer Dichtegradient entsteht, der das Licht nach unten beugt und den Horizont und die Tafeln scheinbar anheben lässt. Man kann sehen, wie der Horizont und die Tafeln immer mehr angehoben und die Bilder immer mehr verzerrt werden. Der Horizont erscheint am Ende des Videos um 2,9 m angehoben verglichen mit dem Start des Videos.

Referenzen

Brechungsindex
Der Brechungsindex eines Materials ist eine dimensionslose Zahl, die beschreibt, wie schnell sich Licht durch das Material ausbreitet.
https://de.wikipedia.org/wiki/Brechungsindex
Terrestrische Refraktion
Variation des Refraktions-Koeffizienten in Bodennähe; Terrestrische Refraktion in der astronomischen Navigation
https://de.wikipedia.org/wiki/Terrestrische_Refraktion
Concepts and Solutions to Overcome the Refraction Problem in Terrestrial Precision Measurement; Prof. Dr. Hilmar Ingensand
Keywords: Refraction, dispersometry, scintillometry, temperature gradient
https://www.fig.net/resources/proceedings/fig_proceedings/fig_2002/Js28/JS28_ingensand.pdf
Modeling Atmospheric Refraction Influences by Optical Turbulences Using an Image-Assisted Total Station; Dipl.-Ing. Dr. techn. Alexander Reiterer (2012)
Study presents a method for the determination of the influence of refraction on the basis of optical measurements.
https://geodaesie.info/sites/default/files/privat/zfv_2012_3_Reiterer.pdf
[5]
Monitoring of the refraction coefficient in the lower atmosphere using a controlled setup of simultaneous reciprocal vertical angle measurements
This paper shows that near the surface refraction can vary from -3 to 16 during the day. As the surface is heated by the sun, refraction is negative. As the surface cools refraction is positive, much greater than 1 after sunset.
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/2010JD014067/abstract;jsessionid=929EF8B10D42832FBFFA1D197CBAC3CB.f02t01
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Created Dienstag, 28. Dezember 2021
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