Normalform einer Ebene

Eine Ebene liegt in Normalform vor, wenn man den Vektor $\hat n$ senkrecht zur Ebene und einen Punkt $\vec P$ der Ebene kennt. Die Normalform ist dann:

Der Punktoperator ist das Skalarprodukt der Vektoren links und rechts des Operators. Eine Vektorvariable hat in diesem Beitrag einen Pfeil über dem Symbol, oder eine Dächlein wenn der Vektor die Länge 1 hat, also ein Einheitsvektor ist.

Die Gleichung (1) sagt aus, dass das Skalarprodukt des Normalenvektors $\hat n$ mit einem beliebigen Punkt der Ebene, gegeben als Vektor $\vec x$ vom Ursprung zu diesem Punkt, immer denselben Wert hat wie das Skalarprodukt des Normalenvektors mit dem gegebenen Ebenen-Punkt $\vec P$. Der Wert des Skalarproduktes ist $d$.

Die Berechnungen werden einfacher, wenn man Einheitsvektoren verwenden kann. Ein beliebiger Vektor kann in einen Einheitsvektor transformiert werden, indem man die Komponenten des Vektors durch die Länge des Vektors dividiert:

Parameterform einer Ebene

Eine Ebene kann in Parameterform notiert werden, wenn man zwei Vektoren $\hat u$ und $\hat v$ hat, die in der Ebene liegen aber nicht parallel sind, und einen Punkt $\vec P$ der Ebene hat. Die Parameterform ist dann:

Die Variablen a und b sind die Parameter. Jeder beliebige Punkt $\vec x$ der Ebene kann durch diese Vektoren und eine bestimmte Kombination dieser Parameter beschrieben werden.

Wenn die Ebene in Parameterform vorliegt, wir aber die Normalform benötigen, kann man einfach den Normalenvektor über das Vektorprodukt berechnen:

Wenn die beiden Vektoren $\hat u$ und $\hat v$ parallel sind, wird das Vektorprodukt 0 und somit kann kein Normalenvektor berechnet werden.

Berechnung der Schnittlinie

Für die Berechnung der Schnittlinie zweier Ebenen gehe ich davon aus, dass die beiden Ebenen in Normalform vorliegen:

Richtung der Schnittlinie

Die Richtung der Schnittlinie $\hat q$ können wir über das Vektorprodukt der Normalenvektoren $\hat n_1$ und $\hat n_2$ der beiden Ebenen berechnen. Das Vektorprodukt liefert einen Vektor, der senkrecht zu den beiden Vektoren ist, was eine Eigenschaft der Schnittlinie ist:

Punkt auf der Schnittlinie

Einen Punkt auf der Schnittgeraden finden wir, indem wir eine dritte Ebene A₃ in Parameterform definieren, die senkrecht auf den beiden Ebenen A₁ und A₂ steht und den Ursprung als Punkt der Ebene enthält. Als Vektoren in der Ebene A₃, die wir für die Parameterform benötigen, können wir die Normalenvektoren der Ebenen A₁ und A₂ verwenden. Daraus erhalten wir folgene Parameterform der Ebene A₃:

Wenn die beiden Ebenen A₁ und A₂ parallel sind, also keine Schnittlinie definiert werden kann, haben sie denselben Normalenvektor und die Ebene A₃ ist nicht definiert.

Wir müssen nun die beiden Paraemeter s₁ und s₂ finden. Damit können wir dann den Punkt der Schnittlinie $\vec Q$ berechnen. Die Parameter s₁ und s₂ können wir berechnen, indem wir die obige Gleichung in die Normalformen der beiden Ebenen A₁ und A₂ einsetzen:

Damit haben wir zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten s₁ und s₂, die wir leicht lösen können. Ich verwende die Eigenschaft, dass die Normalenvektor Einheitsvektoren sind, sodass ich folgende Vereinfachungen machen kann:

Damit erhalte ich für die beiden Parameter:

Nun können wir den Punkt der Schnittgeraden berechnen:

Zusammenfassung

Gegeben:

Schnittgerade in Parameterform:

Die Schnittgerade kann nur berechnet werden, wenn die beiden Normalenvektoren $\hat n_1$ und $\hat n_2$ nicht parallel sind, d.h. wenn die beiden Ebenen A₁ und A₂ nicht parallel sind.

Der Linienpunkt $\vec Q$ liegt auf einer Ebene A₃ durch den Ursprung (0,0,0), die senkrecht zu den beiden Ebenen A₁ und A₂ ist.

Animation

Mit der folgenden interaktiven Animation kann man überprüfen, ob die Intersect-Funktion korrekt funktioniert.

JavaScript

var V3 = {

  Length: function( v ) {
    return Math.sqrt( v[0]*v[0] + v[1]*v[1] + v[2]*v[2] );
  },

  Scale: function( v, s ) {
    return [ v[0]*s, v[1]*s, v[2]*s ];
  },

  Add: function( a, b ) {
    return [ a[0]+b[0], a[1]+b[1], a[2]+b[2] ];
  },

  ScalarProd: function( a, b ) {
    return a[0]*b[0] + a[1]*b[1] + a[2]*b[2];
  },

  Mult: function( a, b ) {
    return [
      a[1] * b[2] - a[2] * b[1],
      a[2] * b[0] - a[0] * b[2],
      a[0] * b[1] - a[1] * b[0]
    ];
  },

};

function InterctionLineOf2Areas( P1, n1, P2, n2 ) {
  // Computes the parameter form of the intersection line
  // between the areas given in normal form P1, n1 and P2, n2.
  // If the areas are parallel, null is returned.
  // If an intersection line can be computed, it is returned as
  // ret = { V3 Q, V3 q }, where the parameterform of the intersection line is
  // x = ret.Q + lambda * ret.q
  //
  // require V3.Length(n1) == 1 and V3.Length(n2) == 1

  var q = V3.Mult( n2, n1 );
  var ql = V3.Length(q);
  if (ql == 0) {
    // areas are parallel -> no solution
    return null;
  }
  // normalize q
  q = V3.Scale( q, 1/ql );

  var r = V3.ScalarProd( n1, n2 );
  // assert r < 1
  var d1 = V3.ScalarProd( P1, n1 );
  var d2 = V3.ScalarProd( P2, n2 );
  var s1 = (d1 - r * d2) / (1 - r*r );
  var s2 = (d2 - r * d1) / (1 - r*r );

  var Q = V3.Add( V3.Scale( n1, s1 ), V3.Scale( n2, s2 ) );
  return { Q: Q, q: q };
}

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