Ich zeige, wie durch Wahl eines geeigneten Koordinatensystems die Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden vereinfacht wird. Ich leite die Formeln her und erstelle ein JavaScript, welches den Schnittpunkt zweier Geraden berechnet. Eine interaktive Animation zeigt das JavaScript in Aktion.

Aufgabe

Gegeben seien zwei Geraden g₁ und g₂ in Vektorform. Das heisst die Gerade g₁ geht durch den Punkt $\vec P$ und hat die Richtung des Einheitsvektors $\vec r$, die Gerade g₂ geht durch den Punkt $\vec Q$ und hat die Richtung des Einheitsvektors $\vec s$.

Gesucht ist der Schnittpunkt $\vec O$ der beiden Geraden.

Vereinfachung der Aufgabe

Durch Wahl eines geeigneten Koordinatensystems K' lässt sich die Aufgabe vereinfachen:

Ich wähle die Gerade g₁ als X-Achse des Koordinatensystems K' und den Punkt $\vec P$ als seinen Ursprung. Dann transformiere ich die Gerade g₂, d.h. den Punkt $\vec Q$ und die Richtung $\vec s$, in das System K'. Jetzt muss nur berechnet werden, bei welchem X-Wert a die Gerade g₂ die X-Achse schneidet. Dies ergibt den Punkt $\vec O'$, welcher auf der X-Achse von K' liegt. Diesen Punkt muss ich nun wieder ins Koordinatensystem K zurück transformieren und ich erhalte damit den Schnittpunkt $\vec O$ der beiden Geraden.

Für die beiden Geraden gelten die folgenden Geraden-Gleichungen:

Transformation ins Koordinatensystem K'

Die Gerade g₁ bildet die X-Achse des Koordinatensystems K' mit dem Ursprung beim Punkt $\vec P$. Im System K' hat somit die Gerade g₁ den Punkt $\vec P'$ beim Nullpunkt und die Richtung $\vec r'$ entspricht dem Einheitsvektor $\vec e'_\mathrm{x}$ der X-Achse von K'.

Den Punkt $\vec Q$ und die Richtung $\vec s$ kann ich mit Hilfe des Skalarproduktes ins System K' abbilden:

Die Richtung $\vec s$ der Geraden g₂ lässt sich analog transformieren:

Damit erhalte ich zwei neue Geradengleichungen im System K':

Für den Schnittpunkt $\vec O'$ gilt $\vec V'_1 = \vec V'_2 = \vec O'$:

Die Werte a und b erhalte ich, wenn ich die beiden obigen Gleichungen einander gleichsetze:

Die obige Gleichung in die beiden Komponenten zerlegt:

Vereinfacht:

Daraus lassen sich direkt die beiden Variablen a und b berechnen:

Um den Schnittpunkt $\vec O$ im System K zu erhalten, muss ich nur den Wert λ₁ = a in die Geradengleichung (1) für die Gerade g₁ einsetzen:

JavaScript IntersectLines

Dem JavaScript müssen die beiden Punkte $\vec P$ und $\vec Q$, sowie die beiden Richtungen $\vec r$ und $\vec s$ übergeben werden. Die Vektoren werden als zweidimensionales Array der Form [ x, y ] übergeben. Als Resultat wird der Schnittpunkt $\vec O$ der beiden Geraden als [ Ox, Oy ] Array zurückgegeben.

Wenn sich die Geraden nicht schneiden oder identisch sind, wird null zurückgegeben.

function IntersectLines( P, r, Q, s ) {
  // line1 = P + lambda1 * r
  // line2 = Q + lambda2 * s
  // r and s must be normalized (length = 1)
  // returns intersection point O of line1 with line2 = [ Ox, Oy ] 
  // returns null if lines do not intersect or are identical
  var PQx = Q[0] - P[0];
  var PQy = Q[1] - P[1];
  var rx = r[0];
  var ry = r[1];
  var rxt = -ry;
  var ryt = rx;
  var qx = PQx * rx + PQy * ry;
  var qy = PQx * rxt + PQy * ryt;
  var sx = s[0] * rx + s[1] * ry;
  var sy = s[0] * rxt + s[1] * ryt;
  // if lines are identical or do not cross...
  if (sy == 0) return null;
  var a = qx - qy * sx / sy;
  return [ P[0] + a * rx, P[1] + a * ry ];
}

Animation