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Unverzerrter Kreis an Parabel

Freitag, 31. Juli 2015 - 00:27 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Geometrie, Animation, Interaktiv | Kommentare(4)

Um den unverzerrten Krümmungskreis an einen Punkt einer Parabel zu berechnen, brauchen wir die Krümmung der Parabel an dieser Stelle. Diese Krümmung ist nicht einfach die zweite Ableitung der Parabel bezüglich der X-Koordinate. Vielmehr ist die Krümmung ein Mass für die Richtungsänderung der Tangente an diesem Punkt.

Krümmung einer 2D-Kurve

Die Krümmung κ an einer Stelle s einer parametrisch vorliegenden 2D-Kurve $\vec u(s)$ ist definiert als die Richtungsänderung beim Durchlaufen der Kurve an dieser Stelle. Die Krümmung einer Geraden ist überall gleich null, weil sich ihre Richtung nicht ändert. Ein Kreis(bogen) mit dem Radius R hat überall die gleiche Krümmung, denn seine Richtung ändert sich überall gleich stark. Je kleiner der Radius des Kreises ist, desto grösser ist seine Krümmung.

Krümmung einer ebenen Funktion

Der Kehrwert der Krümmung ist der Krümmungsradius R des Krümmungskreises. Der Mittelpunkt Z dieses Kreises heisst Krümmungsmittelpunkt und kann konstruiert werden, indem der Krümmungsradius senkrecht zur Tangente der Kurve abgetragen wird, und zwar in die Richtung, in die sich die Kurve krümmt.

Eine 2D-Kurve liege in parametrischer Form vor:

(1)

$\vec u(s) = ( x(s) , y(s) )$

wobei^'

$\vec u(s)$ ^'	=^'	^'Vektor zu einem Punkt der Kurve
$x(s)$ ^'	=^'	^'Funktion, welche die X-Koordinate in Abhängigkeit von s angibt
$y(s)$ ^'	=^'	^'Funktion, welche die Y-Koordinate in Abhängigkeit von s angibt

Die Tangente $\vec T(s)$ im Punkt $\vec u(s)$ bildet einen bestimmten Winkel $\varphi$ zur X-Achse. Die Krümmung der Kurve ist definiert durch die Rate, wie stark sich dieser Winkel ändert, wenn wir uns von s aus eine Strecke ds weiter bewegen:

(2)

$\kappa(s) = { 1 \over R(s) } = { \mathrm{d} \varphi(s) \over \mathrm{d} s }$

wobei^'

$\kappa(s)$ ^'	=^'	^'Krümmung der Kurve beim Punkt s
$R(s)$ ^'	=^'	^'Radius des Krümmungskreises am Punkt s
$\mathrm{d} \varphi(s) / \mathrm{d} s$ ^'	=^'	^'Änderungsrate des Winkels $\varphi$ , wenn wir uns um ds weiter entlang der Kurve $\vec u(s)$ bewegen.

Krümmung einer Funktion

Liegt die Kurve als Funktion in der Form y = f(x) vor, so ist der Winkel φ zur X-Achse:

(3)	$\tan \varphi = { \mathrm{d} y \over \mathrm{d} x }$

In Worten: der Tangens des Winkels φ an einer Stelle x ist gleich der ersten Ableitung der Funktion f(x) an dieser Stelle.

Wir können auch die Winkeländerung in Abhängigkeit der X-Koordinate beschreiben:

(4)

${ \mathrm{d} \varphi \over \mathrm{d} x } = { \mathrm{d} \varphi \over \mathrm{d} s } { \mathrm{d} s \over \mathrm{d} x } \qquad\Rightarrow\qquad { \mathrm{d} \varphi \over \mathrm{d} s } = \color{green}{ { \mathrm{d} \varphi \over \mathrm{d} x } } \color{blue}{ { \mathrm{d} x \over \mathrm{d} s } }$

Die Winkeländerung dφ/dx erhalten wir durch Ableiten der Formel (3) nach x mit der Kettenregel:

(5)	${ \mathrm{d} \over \mathrm{d} x } \tan \varphi = ( 1 + { \tan }^2 \varphi ) { \mathrm{d} \varphi \over \mathrm{d} x } = \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} y \over \mathrm{d} x } \right) }^2 \right] { \mathrm{d} \varphi \over \mathrm{d} x } = { \mathrm{d}^{2} y \over { \mathrm{d} x }^2 }$

Der grüne Teil von (4) ist somit (Auflösen nach dφ/dx):

(6)	${ \mathrm{d} \varphi \over \mathrm{d} x } = \color{ green }{ { \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} y \over \mathrm{d} x } \right) }^2 \right] }^{ -1 } { \mathrm{d}^{2} y \over { \mathrm{d} x }^2 } }$

Den Zusammenhang zwischen ds und dx (blauer Teil von (4)) erhalten wir über Pythagoras:

(7)	${ \mathrm{d} s }^2 = { \mathrm{d} x }^2 + { \mathrm{d} y }^2 \qquad \Rightarrow \qquad { \mathrm{d} s \over \mathrm{d} x } = \sqrt{ 1 + { \left( { \mathrm{d} y \over \mathrm{d} x } \right) }^2 }$

Wir benötigen den Kehrwert (blauer Teil von (4)):

(8)	${ \mathrm{d} x \over \mathrm{d} s } = \color{ blue }{ { \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} y \over \mathrm{d} x } \right) }^2 \right] }^{ -1 / 2 } }$

Damit ist die Krümmung:

(9)

$\kappa = { \mathrm{d} \varphi \over \mathrm{d} s } = \color{ green }{ { \mathrm{d} \varphi \over \mathrm{d} x } } \color{ blue }{ { \mathrm{d} x \over \mathrm{d} s } } = \color{ green }{ { \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} y \over \mathrm{d} x } \right) }^2 \right] }^{ -1 } { \mathrm{d}^{2} y \over { \mathrm{d} x }^2 } } \cdot \color{ blue }{ { \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} y \over \mathrm{d} x } \right) }^2 \right] }^{ -1 / 2 } }$

(10)

$\kappa(x) = { 1 \over R(x) } = { \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} f(x) \over \mathrm{d} x } \right) }^2 \right] }^{ -3 / 2 } { \mathrm{d}^{2} f(x) \over { \mathrm{d} x }^2 } = { y^{\,\prime\prime} \over { \left[ 1 + { y^{\,\prime} }^2 \right] }^{ 3 / 2 } }$

Krümmung einer Funktion y = f(x)

Zentrum des Krümmungskreises

Zum Berechnen des Kreiszentrums Z berechnen wir zunächst den Tangentenvektor $\vec T$ an den Punkt $\vec P = ( x , f(x) ) = (x,y)$ . Der Tangentenvektor ist die erste Ableitung der Funktion:

(11)	$\vec T = { \mathrm{d} \vec P \over \mathrm{d} x } = { \mathrm{d} \over \mathrm{d} x } \left\lgroup \matrix{ x \\ y } \right\rgroup = \left\lgroup \matrix{ 1 \\ y^{\,\prime} } \right\rgroup$

Der Tangentenvektor hat die Länge $| \vec T |$ . Wir benötigen jedoch den Einheits-Tangentenvektor $\vec e_\mathrm{T}$ mit der Länge 1. Diesen erhalten wir, indem wir den Tangentenvektor durch seine Länge dividieren:

(12)	$\vec e_\mathrm{T} = { \vec T \over \left\| \vec T \right\| } = \left\lgroup \matrix{ 1 \\ y^{\,\prime} } \right\rgroup { 1 \over \sqrt{ 1 + { y^{\,\prime} }^2 } }$

Das Zentrum des Krümmungskreises liegt im Abstand $R$ in Richtung eines Vektors $\vec e_\mathrm{R}$ , der von der Tangente aus 90° nach links zeigt, bzw. nach rechts, wenn der Radius negativ ist. Den Vektor $\vec e_\mathrm{R}$ erhält man über die Multiplikation von $\vec e_\mathrm{T}$ mit einer entsprechenden Rotationsmatrix oder einfach durch aufzeichnen und ablesen:

(13)

$\vec e_\mathrm{R} = \left\lgroup \matrix{ -e_{ \mathrm{T}, \mathrm{y} } \\ e_{ \mathrm{T}, x } } \right\rgroup = \left\lgroup \matrix{ -y^{\,\prime} \\ 1 } \right\rgroup { 1 \over \sqrt{ 1 + { y^{\,\prime} }^2 } }$

Damit können wir den Mittelpunkt des Krümmungskreises berechnen:

(14)

$\vec Z = \vec P + R \cdot \vec e_\mathrm{R}$

Einsetzen der Formeln für $\vec P$ , $\vec e_\mathrm{R}$ ergibt:

(15)	$\vec Z = \left\lgroup \matrix{ x \\ y } \right\rgroup + R \left\lgroup \matrix{ -y^{\,\prime} \\ 1 } \right\rgroup { 1 \over \sqrt{ 1 + { y^{\,\prime} }^2 } }$

Oder in Komponenten aufgelöst für den Punkt bei x:

(16)	$Z_x = x - R \cdot y^{\,\prime} \cdot { 1 \over \sqrt{ 1 + { y^{\,\prime} }^2 } }$

(17)	$Z_y = y + R \cdot { 1 \over \sqrt{ 1 + { y^{\,\prime} }^2 } }$

Nachfolgend nochmals die hier hergeleiteten Formeln für Krümmungskreise an Funktionen zusammengefasst:

Formeln für Krümmungskreise an Funktionen

(18)

$R = { { \left( 1 + { y' }^2 \right) }^{ 3 / 2 } \over y'' }$

(19)

$Z_x = x - { R(x) \cdot y^{\,\prime} \over \sqrt{ 1 + { y^{\,\prime} }^2 } } = x - { \left( 1 + { y^{\,\prime} }^2 \right) \cdot y^{\,\prime} \over y^{\,\prime\prime} }$

(20)

$Z_y = y + { R(x) \over \sqrt{ 1 + { y^{\,\prime} }^2 } } = y + { 1 + { y^{\,\prime} }^2 \over y^{\,\prime\prime} }$

Oder ausgeschrieben:

(21)

$R(x) = \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} f(x) \over \mathrm{d} x } \right) }^2 \right]^{ 3 / 2 } { \left[ { \mathrm{d}^{2} f(x) \over { \mathrm{d} x }^2 } \right] }^{-1}$

(22)

$Z_x(x) = x - R(x) { \mathrm{d} f(x) \over \mathrm{d} x } \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} f(x) \over \mathrm{d} x } \right) }^2 \right]^{ -1 / 2 }$

(23)

$Z_y(x) = f(x) + R(x) \left[ 1 + { \left( { \mathrm{d} f(x) \over \mathrm{d} x } \right) }^2 \right]^{ -1/2 }$

wobei^'

$x$ ^'	=^'	^'X-Koordinate des Berührungspunktes
$f(x)$ ^'	=^'	^'Y-Koordinate des Berührungspunktes
$R(x)$ ^'	=^'	^'Radius des Krümmungskreises für den Berührungspunkt bei x
$Z_x(x)$ ^'	=^'	^'X-Koordinate des Zentrums des Krümmungskreises für den Berührungspunkt bei x
$Z_y(x)$ ^'	=^'	^'Y-Koordinate des Zentrums des Krümmungskreises für den Berührungspunkt bei x

Krümmungskreis an Parabelfunktion

Jetzt wo wir wissen, wie die Krümmung κ bzw. der Krümmungsradius R einer Funktion y = f(x) berechnet werden, können wir die Formel (18) auf unsere Parabel anwenden. Dazu benötigen wir die erste und zweite Ableitung der Parabel:

(24)	$y = f(x) = a \, x^2 + b$	Parabelgleichung
	$y' = { \mathrm{d} f(x) \over \mathrm{d} x } = 2 \, a \, x$	erste Ableitung
(25)	$y'' = { \mathrm{d}^2 f(x) \over \mathrm{d} x^2 } = 2 \, a$	zweite Ableitung

Eingesetzt in die Formel (18) ergibt dies den Radius des Krümmungskreises an der Stelle x:

(26)

$R(x) = { \left[ 1 + { ( 2 \, a \, x ) }^2 \right] }^{ 3 / 2 } { 1 \over 2 \, a }$

Kreisradius

Für das Kreiszentrum könnte ich einfach die unter (18) hergeleiteten Formeln verwenden. Ich möchte aber das Prinzip an diesem Beispiel nochmals zeigen.

Zum Berechnen des Kreiszentrums Z gehen wir vom Punkt P = ( x , f(x) ) von der Tangente an diesem Punkt aus 90° Richtung nach links um die Strecke R.

Die Richtung der Tangente $\vec T$ bzw. des entsprechenden Einheitsvektor $\vec e_\mathrm{T}$ berechnet sich über die erste Ableitung wiefolgt (pro Einheit in X-Richtung geht es y' = 2ax Einheiten in Y-Richtung):

(27)	$\vec T(x) = \left\lgroup \matrix{ 1 \\ 2 \, a \, x } \right\rgroup \qquad \rightarrow \qquad \vec e_\mathrm{T}(x) = { \vec T(x) \over \left\| \vec T(x) \right\| } = \left\lgroup \matrix{ 1 \\ 2 \, a \, x } \right\rgroup { 1 \over \sqrt{ 1 + { ( 2 \, a \, x ) }^2 } }$

Den Vektor 90° nach links dazu erhält man über die Multiplikation von $\vec e_\mathrm{T}$ mit einer entsprechenden Rotationsmatrix oder einfach durch aufzeichnen und ablesen:

(28)

$\vec e_\mathrm{R}(x) = \left\lgroup \matrix{ -e_{ \mathrm{T}, \mathrm{y} } \\ e_{ \mathrm{T}, x } } \right\rgroup = \left\lgroup \matrix{ -2 \, a \, x \\ 1 } \right\rgroup { 1 \over \sqrt{ 1 + { ( 2 \, a \, x ) }^2 } }$

Damit können wir den Mittelpunkt des Krümmungskreises berechnen:

(29)

$\vec Z(x) = \vec P(x) + \vec e_\mathrm{R}(x) \cdot R(x)$

Einsetzen der Formeln für $\vec P$ , $\vec e_\mathrm{R}$ und R ergibt:

(30)	$\vec Z(x) = \left\lgroup \matrix{ x \\ a \, { x }^2 + b } \right\rgroup + \left\lgroup \matrix{ -2 \, a \, x \\ 1 } \right\rgroup { 1 \over \sqrt{ 1 + { ( 2 \, a \, x ) }^2 } } \, { { \left[ 1 + { ( 2 \, a \, x ) }^2 \right] }^{ 3 / 2 } \over 2 \, a }$

Zusammenfassen der letzen beiden Terme ergibt schliesslich:

(31)	$\vec Z(x) = \left\lgroup \matrix{ x \\ a \, { x }^2 + b } \right\rgroup + \left\lgroup \matrix{ -2 \, a \, x \\ 1 } \right\rgroup { 1 + { ( 2 \, a \, x ) }^2 \over 2 \, a }$

Oder in Komponenten aufgelöst für den Punkt bei x:

(32)	$Z_\mathrm{x}(x) = x - x \, \left[ 1 + { ( 2 \, a \, x ) }^2 \right] = -4 \, a^2 \, { x }^3$

(33)	$Z_\mathrm{y}(x) = a \, { x }^2 + b + { 1 + { ( 2 \, a \, x ) }^2 \over 2 \, a } = 3 \, a \, { x }^2 + b + { 1 \over 2 \, a }$

Nochmals die Kreisformeln zusammengefasst:

Formeln für Krümmungskreise an Parabel

(34)

$Z_\mathrm{x}(x) = -4 \, a^2 \, { x }^3$

$Z_\mathrm{y}(x) = 3 \, a \, { x }^2 + b + { 1 \over 2 \, a }$

(35)

$R(x) = { 1 \over \kappa(x) } = { \left[ 1 + { ( 2 \, a \, x ) }^2 \right] }^{ 3 / 2 } { 1 \over 2 \, a }$

Animation

Kommentare

1Martina Vitt 06.10.2016 | 13:34

Der Artikel gefällt mir total gut, insbesondere die Animation. Gilt Entsprechendes auch für Hyperbeln? Mit freundlichen Grüßen, Martina Vitt

2wabis

(Walter Bislin, Autor dieser Seite) 19.10.2016 | 01:36

@Martina Vitt

Ja, die Formeln gelten auch für Hyperbeln, wobei als Schwierigkeit dazu kommt, dass Hyperbeln bezüglich der X-Achse spiegelsymmetrisch sind. Das heisst es gibt jeweils zwei gespiegelte Kreise.

Kreise an Hyperbel

3Ralf Schmidt 31.10.2016 | 11:50

Genau das, was ich brauche ! Sehr gut hergeleitet und auch gut erklärt. Leider kann ich es für mein Problem nicht umsetzen - mir fehlt es an Mathe. Ich habe ein U-Profil (U80), das sich unter Last durchbiegt. Wie berechne ich den Radius, wenn ich folgende Formeln und Kenngrößen habe :

-y(x) = (F * L^3) / (2 * I * E) * ( 1/6 * (x/L)^3 - (x/8*L) )

L (cm)
F (kN)
I (cm^4)
E (kN/cm^2)
x (cm)

Dies ist die Formel zur Berechnung der Biegelinie an einem Balken mit einer Kraft in Balkenmitte (hier : U80-Profil) und Auflager A und Auflager B. In der Mitte des U-Profils ist die größte Krümmung ... aber wie groß ist sie ?

y'(x) und y''(x) müßten so sein:

y'(x) = F * (8 * x^2 - 3 * L^2) / (48 * I * E) und
y''(x) = (F * x) / (3 * I * E)

Können Sie mir hierbei helfen? Ich wäre Ihnen sehr dankbar

mit freundlichen Grüssen

Ralf Schmidt

4wabis

(Walter Bislin, Autor dieser Seite) 01.11.2016 | 16:04

@Ralf Schmidt

Ich habe die gewünschten Berechnungen samt interaktiver Grafik und Rechenformular auf der folgenden Seite veröffentlicht:

Biegekreis an belasteten Balken

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