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Ableitung der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion $e^x$ hat die seltsame Eigenschaft, dass ihre Ableitung wiederum die Exponentialfunktion ergibt!

(1)

${\mathrm d \over \mathrm d x} e^x = e^x$

Herleitung

Für diese Herleitung der Ableitung der Exponentialfunktion verwende ich einen Trick und die Ableitung des natürlichen Logarithmus. Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist:

(2)	${\mathrm d \over \mathrm d x} \ln(x) = {1 \over x}$

Trick: Ich leite folgende Funktion ab:

(3)	$\underbrace{{\mathrm d \over \mathrm d x} \ln(e^x)}_{\rm (3a)} = {\mathrm d \over \mathrm d x}\left[ x \cdot \ln(e)\right] = {\mathrm d \over \mathrm d x}\, x = 1$

Den Term (3a) kann man auch nach der Kettenregel ableiten (Ableitung der inneren Funktion nach x mal Ableitung der äusseren Funktion nach der inneren Funktion):

(4)

$\underbrace{{\mathrm d \over \mathrm d x} \ln(e^x)}_{\rm (3a)} = \underbrace{{\mathrm d \over \mathrm d x} \left[ e^x \right]}_{\rm inner} \cdot \underbrace{{\mathrm d \over \mathrm d (e^x)} \left[ ln(e^x) \right]}_{\rm outer} \qquad\Rightarrow\qquad {\mathrm d \over \mathrm d x}\, e^x \cdot {1 \over e^x} = 1$

denn outer = ${\mathrm d \over \mathrm d g}\,\ln(g) = 1 / g$ oder für $g = e^x$ $\Rightarrow$ ${\mathrm d \over \mathrm d (e^x)}\,\ln(e^x) = 1 / e^x$ .

Wenn wir jetzt das Ergebnis von (4) auf beiden Seiten mit $e^x$ multiplizieren, erhalten wir:

((1))

${\mathrm d \over \mathrm d x} e^x = e^x$

was zu Beweisen war!

Quelle

www.youtube.com - Proof: d/dx(e^x) = e^x

Analysis

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Created	Dienstag, 20. Januar 2009

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Changed	Sonntag, 29. Juni 2014