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Ableitungen/Stammfunktionen elementarer Funktionen

Hier ist eine Auflistung der Ableitungen/Stammfunktionen der elementaren Funktionen ohne Herleitung:

Ableiten		Integrieren
$f(x) \Rightarrow$	$f\,'(x)$		$f(x) \Rightarrow$	$F(x)$
$a = {\rm const.}$	$0$		$a = {\rm const.}$	$a \cdot x$
$a \cdot x$	$a$		$a \cdot x$	${a \over 2} \cdot x^2$
$x^n \qquad n \in {\rm R}$	$n \cdot x^{n-1}$		$x^n \qquad n \ne -1$	${1 \over n+1} \cdot x^{n+1}$
$x^{-1} = 1 / x$	$-x^{-2} = -1 / x^2$		$x^{-1} = 1 / x$	$\ln(x)$
$\ln(x)$	$1 / x$		$\ln(x)$	$x \cdot \ln(x) - x$
$\log_a(x) \qquad a \gt 0$	${1 \over x \cdot \ln(a)}$		$\log_a(x) \qquad a \gt 0$	${x \cdot \ln(x) - x \over \ln(a)}$
$e^x$	$e^x$		$e^x$	$e^x$
$a^x \qquad a \gt 0$	$a^x \cdot \ln(a)$		$a^x$	${1 \over \ln(a)} \cdot a^x$
$\sin(x)$	$\cos(x)$		$\sin(x)$	$-\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$		$\cos(x)$	$\sin(x)$
$\tan(x)$	$1/\cos(x)^2 = 1 + \tan(x)^2$		$\tan(x)$	$-\ln(\|\cos(x)\|)$
$\cot(x)$	$-1/\sin(x)^2 = -\left(1 + \cot(x)^2\right)$		$\cot(x)$	$\ln(\|\sin(x)\|)$
$\arcsin(x)$	$1/\sqrt{1-x^2}$		$\arcsin(x)$	${x \over \sin(x)}+\sqrt{1-x^2}$
$\arccos(x)$	$-1 / \sqrt{1 - x^2}$		$\arccos(x)$	$?$
$\arctan(x)$	$1 / (1 + x^2)$		$\arctan(x)$	$?$
${\rm arccot}(x)$	$-1 / (1 + x^2)$		${\rm arccot}(x)$	$?$
$\sinh(x)$	$\cosh(x)$		$\sinh(x)$	$\cosh(x)$
$\cosh(x)$	$\sinh(x)$		$\cosh(x)$	$\sinh(x)$
$\tanh(x)$	$1/\cosh(x)^2 = 1 - \tanh(x)^2$		$\tanh(x)$	$?$
$\coth(x)$	$-1/\sinh(x)^2 = 1 - \coth(x)^2$		$\coth(x)$	$?$
${\rm arsinh}(x)$	$1/\sqrt{x^2+1}$		${\rm arsinh}(x)$	$?$
${\rm arcosh}(x)$	$1 / \sqrt{x^2-1}$		${\rm arcosh}(x)$	$?$
${\rm artanh}(x)$	$1 / (1 - x^2)$		${\rm artanh}(x)$	$?$
${\rm arcoth}(x)$	$1 / (1 - x^2)$		${\rm arcoth}(x)$	$?$

Ableiten

Integrieren

$f(x) \Rightarrow$

$f\,'(x)$

$f(x) \Rightarrow$

$F(x)$

$a = {\rm const.}$

$0$

$a = {\rm const.}$

$a \cdot x$

$a$

$a \cdot x$

${a \over 2} \cdot x^2$

$x^n \qquad n \in {\rm R}$

$n \cdot x^{n-1}$

$x^n \qquad n \ne -1$

${1 \over n+1} \cdot x^{n+1}$

$x^{-1} = 1 / x$

$-x^{-2} = -1 / x^2$

$x^{-1} = 1 / x$

$\ln(x)$

$1 / x$

$\ln(x)$

$x \cdot \ln(x) - x$

$\log_a(x) \qquad a \gt 0$

${1 \over x \cdot \ln(a)}$

$\log_a(x) \qquad a \gt 0$

${x \cdot \ln(x) - x \over \ln(a)}$

$e^x$

$a^x \qquad a \gt 0$

$a^x \cdot \ln(a)$

$a^x$

${1 \over \ln(a)} \cdot a^x$

$\sin(x)$

$\cos(x)$

$\sin(x)$

$-\cos(x)$

$\cos(x)$

$-\sin(x)$

$\cos(x)$

$\sin(x)$

$\tan(x)$

$1/\cos(x)^2 = 1 + \tan(x)^2$

$\tan(x)$

$-\ln(|\cos(x)|)$

$\cot(x)$

$-1/\sin(x)^2 = -\left(1 + \cot(x)^2\right)$

$\cot(x)$

$\ln(|\sin(x)|)$

$\arcsin(x)$

$1/\sqrt{1-x^2}$

$\arcsin(x)$

${x \over \sin(x)}+\sqrt{1-x^2}$

$\arccos(x)$

$-1 / \sqrt{1 - x^2}$

$\arccos(x)$

$?$

$\arctan(x)$

$1 / (1 + x^2)$

$\arctan(x)$

$?$

${\rm arccot}(x)$

$-1 / (1 + x^2)$

${\rm arccot}(x)$

$?$

$\sinh(x)$

$\cosh(x)$

$\sinh(x)$

$\cosh(x)$

$\sinh(x)$

$\cosh(x)$

$\sinh(x)$

$\tanh(x)$

$1/\cosh(x)^2 = 1 - \tanh(x)^2$

$\tanh(x)$

$?$

$\coth(x)$

$-1/\sinh(x)^2 = 1 - \coth(x)^2$

$\coth(x)$

$?$

${\rm arsinh}(x)$

$1/\sqrt{x^2+1}$

${\rm arsinh}(x)$

$?$

${\rm arcosh}(x)$

$1 / \sqrt{x^2-1}$

${\rm arcosh}(x)$

$?$

${\rm artanh}(x)$

$1 / (1 - x^2)$

${\rm artanh}(x)$

$?$

${\rm arcoth}(x)$

$1 / (1 - x^2)$

${\rm arcoth}(x)$

$?$

? → Hab ich nicht nachgesehen oder ausgerechnet. Es heisst nicht, dass es keine Lösung gibt!

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Analysis

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Created	Dienstag, 3. März 2009

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