Wir wollen die Bewegungsgleichung für ein einzelnes Teilchen aufstellen, das sich nur entlang einer Achse bewegen kann, um die Bedeutung der Euler-Lagrange-Gleichung zu zeigen.

Die Lagrange-Funktion ist definiert als:

also ist:

$x$ entspricht den $q$'s in der Euler-Lagrange-Gleichung. $q_i$ ist einfach die generelle Form für beliebige Arten von Koordinaten, $x$ wird üblicherweise verwendet, wenn man von rechtwinkligen Koordinatensystemen spricht.

Setzen wir das nun (2) in die Euler-Lagrange-Gleichung ein:

Zunächst leiten wir $\cal L$ aus (2) nach $\dot q_i$ ab. In unserem Beispiel ist $\dot q_i = \dot x$:

Da $V(x)$ nicht von der Geschwindigkeit $\dot x$ abhängig ist (sondern nur von der Position $x$), kommt dieser Term in obiger Formel nicht mehr vor.

Wir erhalten: Masse mal Geschwindigkeit. Dies ist nichts anderes als der Impuls $p$.

Jetzt leiten wir noch $\cal L$ aus (2) nach $x$ ab:

Da der erste Term in der eckigen Klammer nicht von $x$ abhängt, fällt er hier weg. Die Ableitung eines Feldes $V(x)$ nach $x$ ist aber gerade die Kraft $-F(x)$, die das Feld auf das Teilchen ausübt.

Setzen wir (4) und (5) in der Euler-Lagrange-Gleichung (3) ein:

Wir erhalten hier also die bekannte Newton-Formel $F = m \cdot a$ aus der Euler-Lagrange-Gleichung!