Nach dem Gauss-Gesetz der Gravitation muss die Divergenz eines Gravitationsfeldes im leeren Raum Null sein, wenn dort die Massedichte $\rho$ Null ist.

Dass die Divergenz des Gravitationsfeldes an jedem beliebigen Punkt ausserhalb einer Masse gleich Null sein soll, ist nicht sofort ersichtlich. Daher berechne ich hier die Divergenz im Abstand $r$ zu einem Planeten mit der Masse $M$. Das entsprechende Gravitationsfeld nach Newton ist:

Ich lege den Ursprung des Koordinatensystems ins Zentrum des Planeten, sodass gilt:

Zur Vereinfachung der Formeln definiere ich noch:

Damit erhalten wir für die einzelnen Komponenten des Gravitationsfeldes:

Jetzt berechnen wir damit die Divergenz:

Da die Komponenten sich sehr ähnlich sind, reicht es eine Komponente zu differenzieren, die anderen können dann entsprechend hingeschrieben werden. Ich führe die Differenzierung hier an der Komponente $g_x$ durch. Dabei dividiere ich zunächst beide Seite durch $K$, damit es übersichlicher zugeht:

Anwendung der Produktregel ergibt:

Nach dem Zusammenfassen und multiplizieren beider Seiten mit $K$ erhalten wir:

Die y- und z-Komponenten sind analog und habe ich einfach darunter geschrieben. Jetzt müssen wir diese Komponenten nur noch addieren, um die Divergenz zu erhalten:

$(x^2 + y^2 + z^2)$ ist nach (4) gerade $q^1$ und es lässt sich mit $q^{-1}$ kürzen. Somit bleibt:

Die Divergenz eines Gravitationsfeldes im leeren Raum ist also tatsächlich Null. Da sich Gravitationsfelder von mehreren Massen einfach überlagern lassen, gilt dies auch, wenn beliebig viele Massen vorhanden sind!