Vorgehen

Erhaltung der Energie bedeutet, dass die Gesamtenergie im Verlaufe der Zeit konstant bleibt. Ich stelle also die Formel für die Gesamtenergie eines konservativen Systems auf (kinetische plus potentielle Energie) und zeige, dass deren Ableitung nach der Zeit gleich Null ergibt. Dazu brauche ich die Formeln für die Kräfte, die im System wirksam sind. Newton liefert den Zusammenhang von Kraft und Bewegungsänderung (Beschleunigung). Die Formeln für die Kräfte brauche ich dann in der Ableitung der Energie nach der Zeit.

Newtons Gesetz

Newton liefert den Zusammenhang zwischen einer Kraft, die auf einen Körper einwirkt, und der daraus resultierenden Bewegungsänderung: Kraft $F$ gleich Masse $m$ mal Beschleunigung $a$:

Das bedeutet, dass die Beschleunigung eines Körpers Null ist, wenn keine Kraft auf ihn wirkt, dass er sich also gleichförmig mit immer derselben Geschwindigkeit weiter bewegt, solange keine Kraft einwirkt. Je grösser die Krafteinwirkung, umso grösser die Beschleunigung bzw. Geschwindigkeitsänderung. Und je grösser seine Masse dagegen, umso kleiner die Beschleunigung, bei gleicher Kraft.

Für einen Körper, der sich in 3 Dimensionen bewegen kann, müssen für jede Achse je eine solche Gleichung aufgestellt werden. Da die drei Gleichungen identisch aussehen, kann man sie zusammen folgendermassen schreiben:

Die Beschleunigung $a_i$ erhält man durch zweifaches Ableiten des Weges $x_i(t)$ nach der Zeit, was in der Physik durch $\ddot x_i$ abgekürzt wird:

Potentielle Energie und Kraftfelder

Ein physikalisches System, in dem die Energie erhalten wird, bezeichnet man als konservativ. In konservativen Systemen stammen die Kräfte aus Kraftfeldern (Gravitaionsfeld, elektromagnetisches Feld, elektrostatisches Feld usw.). Solche Felder werden als Potential oder potentielle Energie $U$ dargestellt. Die potentielle Energie ist in der Regel abhängig vom Ort. Dies schreibt man so: $U(\vec x)$.

Die entsprechende Kraft, die auf Teilchen am Ort $\vec x$ wirkt, kann wiefolgt berechnet werden (Vektor-Schreibweise):

oder in Komponenten-Schreibweise, wobei $\vec F = (F_1, F_2, F_3)^T$. Der Ausdruck $(\ldots)^T$ transponiert den Vektor von der Zeilen-Schreibweise in die Spalten-Schreibweise. Mit diesem "Trick" lassen sich Vektoren im Text schreiben. Nun aber zur Komponenten-Schreibweise von (2a):

Der Ausdruck $\partial U(x) / \partial x_i$ bedeutet: Partielle Ableitung von $U(x)$ nach der i-ten X-Komponente $x_i$.

Beachte: Die potentielle Energie $U(x)$ ist ein Skalar, kein Vektor. Der Nabla-Operator $\nabla$ macht daraus einen Gradienten-Vektor durch partielles Ableiten nach jeder Richtung $x_i$. Die Einheitsvektoren $\vec e_i$ stehen paarweise senkrecht aufeinander.

Kinetische Energie

Die kinetische Energie $T$ oder die Bewegungs-Energie berechnet sich nach folgender Formel:

Für ein Teilchen, das sich im Raum bewegen kann, muss der Anteil der kinetische Energie in jede Richtung berechnet werden und diese Anteile werden dann summiert:

Die Geschwindigkeit $v_i$ erhält man durch Ableiten des Weges $x_i(t)$ nach der Zeit, was in der Physik durch $\dot x_i$ abgekürzt wird:

Gesamt-Energie

Die Gesamtenergie eines konservativen Systems setzt sich zusammen aus der kinetischen plus der potentiellen Energie:

Setzen wir die kinetische und die potentielle Energie aus den vorherigen Abschnitten ein:

Energie-Erhaltung

Was heisst das, die Energie eines Systems bleibt erhalten? Das heisst nichts anderes, als dass die Gesamtenergie sich über einen beliebigen Zeitraum nicht verändert oder anders gesagt: die Energie-Änderung über die Zeit ist Null. Das heisst aber nichts anderes, als dass die Ableitung der Energie über die Zeit gleich Null ist:

Wir wollen jetzt prüfen, ob dies für unser Beispiel zutrifft, indem wir (4b) nach der Zeit ableiten:

Ableitung der kinetischen Energie

Berechnen wir zuerst die Ableitung der kinetischen Energie nach der Zeit:

Erklärung: Für die Ableitung von $\dot x_i^2$ habe ich die Kettenregel angewandt, die besagt:

$${d\over dt} f(g(t)) = {d\over dg} f(g) \cdot {d\over dt} g(t)$$

Angewandt auf unseren Fall:

$g(t) = \dot x_i$

$f(g) = g^2$

Die Ableitung ist also:

$${d \over dt} [g(t)]^2 = {d\over dg} \underbrace{g(t)^2}_{f(g)} \cdot {d\over dt} g(t) = 2 g(t) \cdot {d\over dt} g(t)$$

Wenn wir $g(t)$ wieder durch $\dot x_i$ ersetzen erhalten wir:

$${d \over dt} [\dot x_i]^2 = 2 \dot x_i \cdot {d \dot x_i \over dt} = 2 \dot x_i \ddot x_i$$

Ableitung der potentiellen Energie

Berechnen wir nun die Ableitung der potentiellen Energie nach der Zeit:

Da $U(x)$ von $x$ abhängt, nicht direkt von $t$, muss die totale Ableitung berechnet werden (Änderung von $U$ bezüglich $x_i$ mal Änderung von $x_i$ nach der Zeit, dies summiert über alle Koordinaten. Die Summe kann auch abgekürzt werden:

Setzen wir nun (6b) und (6c) wieder zusammen:

Schauen wir uns den Term in der Klammer mal genauer an und vergleichen wir mit den Formeln (1c) und (2b):

Wenn wir also (1c) und (2b) in (7a) einsetzen erhalten wir:

Damit ist mathematisch gezeigt, dass die Gesamtenergie in unserem Beispiel für ein Konservatives System erhalten bleibt.

Generalisierung

Im obigen Beispiel bin ich von einem System ausgegangen, das aus nur einem einzigen Teilchen besteht, das sich in 3 unabhängigen Richtungen $(X,Y,Z) = (\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ frei bewegen konnte. Wir können aber die exakt gleichen Formeln für beliebig viele Teilchen erweitern. Statt dass $i = 1\ldots 3$ geht, würde für $N$ Teilchen gelten: $i = 1\ldots 3N$. Man sagt in einem solchen Fall: $x_i$ sind die generalisierten Koordinaten, $\dot x_i$ sind die generalisierten Geschwindigkeiten und $F_i$ sind die generalisierten Kräfte.