Wie sieht die Berechnung aus, wenn der Körper beliebig geformt ist?

Eine beliebige Oberfläche kann durch drei Funktionen von zwei unabhängigen Variablen beschrieben werden:

oder in Komponentenschreibweise:

Der Vektor $\vec r$ beschreibt eine 2D-Fläche im 3D-Raum, wenn man $u$ von $u_1$ bis $u_2$ und $v$ von $v_1$ bis $v_2$ laufen lässt. Für einen geschlossenen Körper muss dabei gelten:

Das heisst praktisch, dass jeder beliebige Schnitt durch den Körper eine geschlossene Kurve ergibt.

Wie beim 2D-Profil müssen wir nun ein beliebiges infinitesimal kleines Flächenelement $dA(u,v)$ und seinen Normalenvektor $\vec n(u,v)$ bestimmen, wobei der Normalenvektor diesmal ein 3D-Vektor ist, also drei Komponenten hat.

Ein Flächenelement wird durch ein Parallelogramm aufgespannt, welches von je zwei gleichlangen Kanten $d \vec s_u(u,v)$ und $d \vec s_v(u,v)$ begrenzt wird. Die Kanten sind infinitesimal kleine Vektoren, die man erhält, wenn man an einer bestimmten Stelle $(u,v)$ einen dieser Parameter festhält und den anderen ein klein wenig variiert:

Dies ist also analog zur Form $dy = f'(x)\cdot dx$, jedoch für 3 Koordinaten, welche von 2 Parametern $(u,v)$ abhängig sind.

Den Normalenvektor erhalten wir nun, indem wir das Kreuzprodukt von $d\vec s_u$ und $d\vec s_v$ bilden. Die Länge dieses Vektors entspricht zudem gerade der Fläche, welche dieses Paralleloramm aufspannt. Es ist also:

Wenn wir dies in die Formel für die Kraft bei konstantem Druck einsetzen erhalten wir:

Das Kreuzprodukt ausgerechnet ergibt für die 3 Kraftkomponenten:

Wir können nun analog wie im 2D-Fall das Doppelintegral einfach lösen, weil wir beim Integrieren der Ableitungen gerade wieder die Originalfunktionen erhalten. Wir müssen dann nur noch die Grenzwerte in diese Funktionen einsetzen und erhalten für die erste Kraftkomponente:

Für einen geschlossenen Körper heben sich alle Terme in den eckigen Klammern gerade auf und werden Null:

So ist gezeigt, dass sich alle Kräfte, die ein konstanter Druck auf einen beliebigen Körper ausüben, gegenseitig aufheben!