Zur Vereinfachung der Berechnungen nehmen wir eine Kugel mit Radius $r = 1$, also eine Einheitskugel. Jeder Punkt $\color{red}{P}$ auf der Kugeloberfläche kann durch die beiden Winkel $\varphi$ und $\theta$ im blauen Koordinatensystem $(x, y, z)$ beschrieben werden:

Die Metrik in diesem Koordinatensystem ist definiert durch:

Es geht nun darum, diese Metrik durch die beiden Winkel $\varphi$ und $\theta$ auszudrücken. Ein geübter Blick kann dies direkt aus der Grafik ablesen:

Ich möchte hier aber zeigen, dass durch Anwenden derselben Methode wie in Metrik-Tensor eines 2D-Polarkoordinatensystems dasselbe Resultat heraus kommt.

Wir berechnen daher zunächst die Differentiale von (1):

Jetzt quadrieren wir die Gleichungen (4) bis (6) und schreiben sie untereinander, damit wir sie dann gleich zur Metrik $\mathrm d s^2$ addieren können:

Addieren wir schon mal die Gleichungen (7) und (8), so fallen bereits diverse Terme weg ($cos^2 + sin^2 = 1$):

Addieren wir nun noch $\mathrm d z^2 = \sin^2\varphi \cdot \mathrm d \varphi^2$ aus (6) erhalten wir die Metrik:

So erhalten wir schliesslich dasselbe Resultat wie bei (3):

Der entsprechende Metrik-Tensor der Kugeloberfläche kann direkt abgelesen werden:

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