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Partielle Integration

Die partielle Integration, auch Produktintegration genannt, ist in der Integralrechnung eine Möglichkeit zur Bestimmung von Stammfunktionen. Sie kann als die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung aufgefasst werden.

Für die partielle Integration verwendet man die folgende Regel, die für stetig differenzierbare Funktionen f und g gilt:

(1)

$\int_a^b f\,'(x) \cdot g(x) \ \mathrm{d} x = \bigl[ f(x) \cdot g(x) \bigr]_a^b - \int_a^b f(x) \cdot g\,'(x) \ \mathrm{d} x$

wobei gilt (obere Grenze minus untere Grenze):

$\bigl[ f(x) \cdot g(x) \bigr]_a^b = f(b) \cdot g(b) - f(a) \cdot g(a)$

Wenn eine der beiden Funktion f oder g oder beide an den Stellen a und b Null sind, vereinfacht sich (I) sogar zu:

(2)	$\int_a^b f\,'(x) \cdot g(x) \ \mathrm{d} x = - \int_a^b f(x) \cdot g\,'(x) \ \mathrm{d} x \qquad \left\|\,{f(a) = f(b) = 0 \atop g(a) = g(b) = 0} \right. \qquad \mathrm{oder}$

In diesem Fall kann man also einfach die Ableitung zwischen f und g tauschen, indem man das Vorzeichen vor dem Integral ändert.

Herleitung

Die Produktregel für Ableitungen von Produkten besagt:

(R.1)

$(f \cdot g)\,' = f\,' \cdot g + f \cdot g\,'$

Wenn man beide Seiten integriert folgt:

$\underbrace{\int (f \cdot g)\,'}_{(\mathrm{a})} = \underbrace{\int f\,' \cdot g}_{(\mathrm{b})} + \underbrace{\int f \cdot g\,'}_{(\mathrm{c})}$

Wir können die Terme auch umstellen:

$\overbrace{\int f\,' \cdot g}^{(\mathrm{b})} = \overbrace{\int (f \cdot g)\,'}^{(\mathrm{a})} - \overbrace{\int f \cdot g\,'}^{(\mathrm{c})}$

Das Integral einer Ableitung (a) ergibt die Stammfunktion: $\int u\,' = u$ , also:

$\int f\,' \cdot g = [f \cdot g] - \int f \cdot g\,'$

Dies ist die Formel für unbestimmte Integrale. Für bestimmte Integrale gilt:

((1))

$\int_a^b f\,'(x) \cdot g(x) \ \mathrm{d} x = \bigl[ f(x) \cdot g(x) \bigr]_a^b - \int_a^b f(x) \cdot g\,'(x) \ \mathrm{d} x$

Anwendungsbeispiel

Trajektorie mit der kleinsten Wirkung

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Created	Dienstag, 13. Januar 2009

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Changed	Samstag, 17. Januar 2015