Null-Tensor

Wenn bei einem beliebigen Tensor $Z$ alle Komponenten Null sind, spricht man vom Null-Tensor:

Die Komponenten des Null-Tensors sind in allen Koordinatensystemen Null. Dies folgt aus der Art wie Tensoren transformiert werden:

Wenn also hier alle Komponenten des Tensors $Z^{r...}_{s...}(\mathrm{X})$ Null sind, können sie auch in allen anderen Koordinatensystemen nur Null sein, da Null mal etwas immer Null ergibt.

Gleichheit von Tensoren

Wenn zwei Tensoren in einem bestimmten Koordinatensystem gleich sind, d.h. vom selben Typ sind und identische Komponenten haben, so sind sie in allen Koordinatensystem gleich. Wenn also gilt dass:

dann kann man auch schreiben:

Rechts steht $\mathbf 0$ für den Null-Tensor. Da der Null-Tensor in allen Koordinatensystemen Null ist gilt auch, dass die linke Seite der Gleichung in allen Koordinatensystemen Null ist. Das heisst aber nichts anderes als dass zwei gleiche Tensoren in allen Koordinatensystemen gleich sein müssen!

Beachte: Die Komponenten von $A_{mn}$ und $B_{mn}$ können in verschiedenen Koordinatensystem unterschiedlich sein. Aber in einem bestimmten Koordinatensystem sind die Komponenten der beiden Tensoren jeweils identisch.

Wenn in einer Tensor-Gleichung für ein bestimmtes Koordinatensystem bewiesen ist, dass die linke Seite des Gleichheitszeichens gleich der rechten Seite des Gleichheitszeichens ist, dann gilt diese Gleichheit für alle Koordinatensysteme!

Dies ist eine der wichtigsten Eigenschaften von Tensoren und Tensor-Gleichungen! Die Gleichheit von Tensoren ist eine geometrische Eigenschaft, die nicht von einem Koordinatensystem abhängig ist! Die Komponenten von Tensoren jedoch sind abhängig vom gewählten Koordinatensystem.

Addition und Subtraktion

Zwei Tensoren können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie vom selben Typ sind. Der Tensor-Typ bestimmt Rang, Dimension und Komponenten-Art eines Tensors.

Wenn zum Beispiel $A^{mn}_r$ und $B^{mn}_r$ beides Tensoren sind, dann ist auch die Summe der beiden ein Tensor:

Die Reihenfolge der Addition spielt keine Rolle (Kommutativgesetz).

Die Subtraktion folgt denselben Regeln wie die Addition. Die entsprechenden Tensoren müssen also auch bei der Subtraktion vom selben Typ sein:

Multiplikation

Um zwei Tensoren miteinander zu multiplizieren, werden sie einfach zu einem neuen Tensor zusammengefügt, indem alle unabhängigen Indizes in ihrer entsprechenden Position kombiniert werden:

Achtung: Die Reihenfolge der Multiplikation von Tensoren spielt eine Rolle. Bei der Tensor-Multiplikation gilt das Kommutativgesetzt generell nicht. Ausnahme: Multiplikation mit einem Skalar!

Division

Die Division eines Tensors durch einen anderen ist nicht generell möglich. Die einzige Ausnahme ist die Division eines Tensors durch einen Skalar. In diesem Fall wird der Tensor einfach neu skaliert, indem jede Komponente des Original-Tensors durch den Skalar dividiert wird.

Assoziativgesetz

Die Addition und Multiplikation von Tensoren sind assoziativ:

Kommutativgesetz

Tensoren kommutieren generell nicht. Ausnahme: Multiplikation mit einem Skalar.

Das Kommutativgesetz gilt jedoch für die Addition: