Angenommen, wir haben eine Funktion $\phi$, welche jedem Punkt im Raum einen Wert zuweist, z.B. eine Temperatur. Der Wert ist also abhängig von den Koordinaten $x^i$ eines Vektors $\vec x$. Die Koordinaten dieses Vektors werden bezüglich eines bestimmten Koordinatensystems angegeben, nennen wir es das X-Koordinatensystem.

Partielle Ableitungen

Wir können die Funktion $\phi(\vec x)$ nach jeder Koordinaten-Richtung $x^i$ separat ableiten, indem wir die anderen Koordinaten fixieren. Eine solche Ableitung nennt man partielle Ableitung. Damit erhalten wir für jeden Punkt D Ableitungen. D ist die Dimension des Raumes, gibt also die Anzahl Koordinaten jedes Vektors in diesem Raum an und damit auch die Anzahl der partiellen Ableitungen:

Wir können die einzelnen Ableitungen als Komponenten eines kovarianten Vektors $\vec v(\vec x)$ interpretieren:

Beachte: Die Ableitung nach einer kontravarianten Komponente ergibt eine kovariante Komponente und umgekehrt. Da im Nenner der Index von $x^i$ oben steht (kontravariant), muss also der Index von $v_i$ unten (kovariant) stehen.

Notation

Im Folgenden nehmen wir an, dass alle Berechnungen für einen beliebigen Punkt $\vec x$ (egal in welchem Koordinatensystem ausgedückt) stattfinden. Wir können uns Schreibarbeit sparen, indem wir $(\vec x)$ nicht jedesmal hinschreiben. Gleichung (2) wird damit:

Totales Differential

Aus den partiellen Differentialen können wir das Totale Differential $\mathrm{d} \phi$ bilden. Dieses drückt aus, wie sich die Funktion $\phi$ verändert, wenn sich die Komponenten von $\vec x$ um den Betrag $\mathrm{d} \vec x$ ändern (siehe auch Differentialrechnung mit mehreren Variablen):

Beachte: Der Term $v_m \cdot \mathrm{d} x^m$ ist das Skalarprodukt zweier Vektoren. Somit ist $\mathrm{d} \phi$ ein Skalar. Das heisst, es gibt an jedem Punkt $\vec x$ des Raumes genau einen Wert für das totale Differential.

Transformation in ein anderes Koordinatensystem

Mit Hilfe des totalen Differentials können wir aus den partiellen Ableitungen bezüglich dem X-Koordinatensystem die partiellen Ableitungen bezüglich eines anderen Koordinatensystems, nennen wir es Y-Koordinatensystem, berechnen.

Dazu müssen wir nur (4) durch $\mathrm{d} y^n$ dividieren:

Hier gilt wieder die Einsteinsche Summenkonvention, da der Index $\color{red}{m}$ zweimal vorkommt. Beachte, dass über $n$ nicht summiert wird!

Beachte: Weil $\phi$ ein Skalar ist, hat dieser in beiden Koordinatensystemen an der selben Stelle den selben Wert. Die partielle Ableitung nach $y^i$ ist jedoch nicht dasselbe wie die partielle Ableitung nach $x^i$. Daher schreibe ich das Bezugs-Koordinatensystem in runden Klammern hinter den Ausdruck.

Der grüne Term $\color{green}{\partial x^m / \partial y^n}$ stellt eine DxD Transformations-Matrix $M^m_n$ dar, wobei D die Dimension des Koordinatensystems ist.

Ausgeschrieben ergibt Formel (5):

Zeile (6) steht für die folgenden $D$ Formeln:

: