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Transformation kovarianter Tensoren

Kovariante und Kontravariante Vektoren und Tensoren unterscheiden sich darin, wie sie zwischen Koordinatensystemen transformiert werden. Auf dieser Seite wird hergeleitet, wie ein kovarianter Vektor transformiert wird und der Unterschied zur Transformation kontravarianter Tensoren gezeigt.

Betrachten wir die Gleichung (1) (siehe Transformation von Ableitungen):

(1)	$\mathrm d \phi = {\partial\phi\over\partial x^{m}}\ \mathrm d x^{m}$

Hier repräsentiert $\mathrm{d} x^m$ eine kontravariante Komponente, weil der Indizex oben stehen:

(2)

$(\mathrm{d} x^m) = (\mathrm{d} x^1, \mathrm{d} x^2, ...) = (V^m)$

Kontravarianter Vektor

Eine andere Form von Vektor stellt der folgende Gradient dar:

(3)

$\left( \color{blue}{{\partial\phi\over\partial x^m}} \right) = \left( {\partial\phi\over\partial x^1}, {\partial\phi\over\partial x^2}, ... \right) = (V_m)$

Kovarianter Vektor

Da hier die Indizes unter dem Bruchstrich stehen, spricht man von einem kovarianten Tensor, obwohl die Indizes im Nenner oben stehen!

Wir können uns nun fragen, wie dieser Gradient vom X-Koordinatensystem ins Y-Koordiantensystem transformiert wird. Dies wurde auf der Seite Transformation von Ableitungen bereits gezeigt:

(4)	${ \partial \phi(\mathrm{Y}) \over \partial y^n } = \color{green}{ { \partial x^{m} \over \partial y^n } } \ \color{blue}{ \partial \phi(\mathrm{X}) \over \partial x^{m} }$

Diese Formel kann verallgemeinert werden, indem der Gradient durch den kovarianten Vektor $V_n$ ersetzt wird.

Regel: Wenn der Index wie hier im Nenner ist, dann wird der Index beim Vektor unten geschrieben.

(5)	${ \partial \phi(\mathrm{Y}) \over \partial y^n } \ \rightarrow\ V_n(\mathrm{Y}) \qquad\text{und}\qquad { \partial \phi(\mathrm{X}) \over \partial x^m } \ \rightarrow\ V_m(\mathrm{X}) \qquad\Rightarrow$

(6)

$V_n(\mathrm{Y}) = \color{green}{{\partial x^{m}\over\partial y^n}} \ \color{blue}{V_m(\mathrm{X})}$

Transformation kovarianter Vektoren

Eselsbrücke:

Ist der Index oben: Kontravariant (n als Pfeilspitze nach oben interpretieren)
Ist der Index unten: Kovarant (v als Pfeilspitze nach unten interpretieren)

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Created	Dienstag, 4. Januar 2011

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Changed	Sonntag, 27. März 2016

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