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Transformation kontravarianter Vektoren |
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Transformation kovarianter Vektoren |
Regel 1: Für die Einsteinsche Summenkonvention muss immer ein Index oben und der andere unten stehen (hier der Index m in rot).
Regel 2: Der offene Index in diesen Beispielen ist
Wenn das Objekt
Man könnte zum Beispiel ein Objekt mit den Komponenten Temperatur, Druck und Feuchtigkeit bilden. Dieses Objekt besteht also aus drei Zahlen und man könnte das Objekt als 3D-Pfeil darstellen, der durch diese Zahlen repräsentiert wird. Ein solches Objekt ist kein Tensor, weil wenn man von einem Koordinatensystem zu einem anderen geht, transformieren seine Komponenten nicht wie die eines Tensors! Temperatur bleibt Temperatur, egal in welchem Koordinatensystem man sie misst. Die Temperatur transformiert also nicht wie eine Komponente eines Tensors.
Beachte, dass die beiden mit V bezeichneten Vektoren zwei verschiedene Vektoren sein können. Ein kontravarianter Vektor wie
Ein Beispiel eines kovarianten Vektors
(3) | (Vm)=(∂ϕ∂xm)=(∂ϕ∂x1,∂ϕ∂x2,∂ϕ∂x3) |
Hier ist der Index
Auch Tensoren von höherem Rang können kovariante und kontravariante Indizes haben. Die obigen Regeln können hier analog angewandt werden. Es braucht einfach für jeden Tensor-Index einen Term
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Kontravariante Indizes |
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Kovariante Indizes |
Es gibt auch Tensoren, die kovariante und kontravariante Indizes gemischt haben. In diesen Fällen muss genau darauf geachtet werden, welcher Index wie transformiert wird.
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Gemischte Indizes |