Regel 1: Für die Einsteinsche Summenkonvention muss immer ein Index oben und der andere unten stehen (hier der Index m in rot).

Regel 2: Der offene Index in diesen Beispielen ist $n$. Weil $V_n$ bzw. $V^n$ im Y-Koordinatensystem sind, muss auf der rechten Seite der Y-Teil $\partial y^n$ mit dem selben offenen Index stehen und zwar so, dass der Index auf beiden Seiten entweder oben (1) oder unten (2) steht. Der Summenindex $m$ steht bei $\partial x^m$ so, dass ein Summenindex oben und der andere unten steht (Regel 1).

Wenn das Objekt $V$ nicht auf diese Weise transformiert, ist es kein Tensor!

Man könnte zum Beispiel ein Objekt mit den Komponenten Temperatur, Druck und Feuchtigkeit bilden. Dieses Objekt besteht also aus drei Zahlen und man könnte das Objekt als 3D-Pfeil darstellen, der durch diese Zahlen repräsentiert wird. Ein solches Objekt ist kein Tensor, weil wenn man von einem Koordinatensystem zu einem anderen geht, transformieren seine Komponenten nicht wie die eines Tensors! Temperatur bleibt Temperatur, egal in welchem Koordinatensystem man sie misst. Die Temperatur transformiert also nicht wie eine Komponente eines Tensors.

Beachte, dass die beiden mit V bezeichneten Vektoren zwei verschiedene Vektoren sein können. Ein kontravarianter Vektor wie $V^m$ wird gebildet, indem er aus den Komponenten $(V^m) = (v^1, v^2, v^3)$ gebildet wird, je nachdem wie viele Dimensionen er hat.

Ein Beispiel eines kovarianten Vektors $V_m$ ist ein Gradient:

Hier ist der Index $m$ unten (kovariant), weil er auf der rechten Seite unterhalb des Bruchstriches steht.

Tensoren höheren Ranges

Auch Tensoren von höherem Rang können kovariante und kontravariante Indizes haben. Die obigen Regeln können hier analog angewandt werden. Es braucht einfach für jeden Tensor-Index einen Term $\partial y / \partial x$ bzw. $\partial x / \partial y$, je nachdem, ob es sich um einen kontravarianten oder einen kovarianten Index handelt:

Es gibt auch Tensoren, die kovariante und kontravariante Indizes gemischt haben. In diesen Fällen muss genau darauf geachtet werden, welcher Index wie transformiert wird.